Question

高等数学，极限x趋于0,[(1+x)^(1/x)-(A+Bx+Cx^2)]/x^3=D,D不为0.

Answer 1

问：高等数学，极限x趋于0,[(1+x)^(1/x)-(A+Bx+Cx^2)]/x^3=D,D不为0.

答：g(x)=ax3+bx2+d,故g[f(x)]=af3(x)+bf2(x)+d.又因方程f(x)=0与g[f(x)]=0同解，故若m是方程f(x)=0的根，则必有f(m)=0,且g[f(m)]=0.即g[f(m)]=g(0)=d=0.∴d=0.(二）当a=0时，f(x)=bx2+cx=x(bx+c),g(x)=bx2.g[f(x)]=bf2(x)=bx2(bx+c)2.由题设可知，两方程x(bx+c)=0,bx2(bx+c)2=0同解。又a,b,c,d不全为0，故此时必有b≠0,而c∈r.(三）若a=1,f(1)=0,===>b+c=0.则有f(x)=-cx(x-1).g(x)=x3-cx2=x2(x-c),g[f(x)]=f2(x)[f(x)-c]2=-c3x2(x-1)2(x2-x+1),由题设知，方程-cx(x-1)=0与-c3x2(x-1)2(x2-x+1)同解。易知，当c≠0时，两方程的解均为0,1.同解。当c=0时，两方程的解均为r.故此时c∈r.