Question

设在口袋中有a个白球,b个黑球,从中一个一个不放回地摸球，直到留在口袋中的球都是同一种颜色为止，求最后是白球留着口袋中的概率

Answer 1

问：设在口袋中有a个白球,b个黑球,从中一个一个不放回地摸球，直到留在口袋中的球都是同一种颜色为止，求最后是白球留着口袋中的概率

答：假设摸了x个球之后，口袋中剩下的球全是白球或全是黑球，则游戏结束。考虑第x次摸球，有两种情况：摸出一个白球：如果此时口袋中剩下的是b个黑球，则游戏结束，概率为b/(a+b)；否则，游戏继续，概率为a/(a+b)。摸出一个黑球：如果此时口袋中剩下的是a个白球，则游戏结束，概率为a/(a+b)；否则，游戏继续，概率为b/(a+b)。

答：因此，设P(x)为在摸了x个球之后，留在口袋中的球都是同一种颜色的概率，则有：

答：P(x) = a/(a+b) * P(x-1) + b/(a+b) * Q(x-1)Q(x) = b/(a+b) * P(x-1) + a/(a+b) * Q(x-1)

答：其中，P(x)表示留下的球是白球的概率，Q(x)表示留下的球是黑球的概率。

答：P(1) = a/(a+b), Q(1) = b/(a+b)

答：最终的答案为：P(x*)，其中x*是最小的使得P(x*)=1或Q(x*)=1的正整数

答：这个问题可以用动态规划算法求解。具体地，可以用一个二维数组dp[i][j]表示在摸了i个球之后，留下的球都是同一种颜色，并且剩下j个白球的概率。状态转移方程为：dp[i][j] = a/(a+b) * dp[i-1][j] + b/(a+b) * dp[i-1][i-j]

答：其中，dp[i-1][j]表示第i次摸出一个白球的情况，dp[i-1][i-j]表示第i次摸出一个黑球的情况。初始状态为：dp[1][a] = a/(a+b), dp[1][b] = b/(a+b)

答：P(x*) = max(dp[x][j]), 1 <= j <= x

答：这个算法的时间复杂度为O(a^2)

问：设最后留在口袋中的球全是白球这一事件为A，另设想把球继续依次取完，设取完到最后一个球是白球这一事件为B，怎么验证A=B

答：要验证A=B，我们需要证明事件A和B是等价的，也就是说，它们具有相同的概率。设口袋中一开始有m个白球和n个黑球，总共有m+n个球。在取球的过程中，我们可以将事件分为两种情况：情况1：在前m次取球中，取出了所有的m个白球，剩下的n个球都是黑球。这种情况下，继续取球直到最后一个球一定是白球，因为最后一个球已经是白球。情况2：在前m次取球中，没有取出所有的白球。这种情况下，无论后面怎么取球，最后一个球一定不是白球。现在我们来计算事件A和事件B的概率：事件A的概率是从m个白球中取出所有的白球，即P(A) = 1/(n+1)。事件B的概率可以分解为两种情况的和：P(B) = P(情况1) + P(情况2)情况1的概率是从m个白球中取出所有的白球，剩下的n个球都是黑球，即P(情况1) = 1/(n+1)。情况2的概率可以用条件概率公式来计算：P(情况2) = P(在前m次取球中没有取出所有白球) × P(最后一个球是白球 | 在前m次取球中没有取出所有白球)因为在前m次取球中没有取出所有白球，所以最后一个球一定不是白球，因此：P(最后一个球是白球 |

答：| 在前m次取球中没有取出所有白球) = 0因此，情况2的概率为0，即P(情况2) = 0。综上所述，我们得到：P(A) = 1/(n+1) = P(B)因此，事件A和事件B是等价的，即A=B。

问：情况1中 已经取了m个白球了，为什么最后剩下的球还是白球

答：抱歉抱歉，回答错了在情况1中，最后剩下的球不一定都是白球，有可能剩下的球是黑球。因此，在情况1中，我们需要进一步考虑继续取球的过程。我们可以将情况1进一步细分为以下两种情况：情况1a：从剩下的n个球中取出最后一个球是白球。情况1b：从剩下的n个球中取出最后一个球是黑球。在情况1a中，从m个白球中取出所有白球，并且从剩下的n个球中取出最后一个球是白球，因此取完最后一个球后，剩下的球中没有黑球，全部是白球，事件A和事件B均成立。在情况1b中，从m个白球中取出所有白球，但从剩下的n个球中取出的最后一个球是黑球。在这种情况下，我们需要继续取球，直到取出最后一个球为止。由于最后一个球是黑球，因此在取完最后一个球后，剩下的球中没有白球，事件A不成立。然而，由于我们要继续取球直到最后一个球是白球，因此在情况1b中，事件B仍然成立。因此，我们可以得出结论：在情况1a和情况1b中，事件A和事件B并不总是等价的，因为它们具有不同的概率。我们需要重新计算事件A和事件B的概率，以考虑这些额外的情况。

问：所以，我设的事件A和事件B不成立吗

答：您设的事件A和事件B并不完全成立。在情况1b中，事件A不成立，但事件B仍然成立。因此，我们需要重新计算事件A和事件B的概率，以考虑这些额外的情况。

问：只有在情况1a中，事件A和B等价吗？情况1a中，已经取走了m个白球，剩下的n个球都是黑球吗？为什么你说取完最后一个球后 剩下的都是白球

答：在情况1a中，已经取走了m个白球，剩下的n个球中并不一定都是黑球，可能还有一些白球。在情况1a中，假设已经取出了m个白球，则还剩下n个球，其中有k个白球和n-k个黑球（k<=n）。我们需要继续取球，直到取出最后一个球为止。由于我们知道最后一个球一定是白球，因此在取完最后一个球后，剩下的球中没有黑球，全部是白球。因此，在情况1a中，事件A和事件B是等价的，因为无论是从剩下的n个球中取到最后一个球是白球，还是从取完最后一个球到剩下的球中取到最后一个球是白球，最终留在口袋中的球都全部是白球。