Question

设A,B为两个已知矩阵,且E-B可逆,则方程A+BX=X的解,X=

Answer 1

问：设A,B为两个已知矩阵,且E-B可逆,则方程A+BX=X的解,X=

答：您好同学，我们将方程A+BX=X稍作变形，得到BX=X-A，进一步变形为X=B^(-1)(X-A)。将这个等式代入原方程得到：A+B(B^(-1)(X-A))=X将括号中的项进行展开，得到：A+BB^(-1)X-BB^(-1)A=X根据矩阵乘法的结合律和逆元的定义，我们知道BB^(-1)等于单位矩阵，即BB^(-1)=E。因此，上述等式可以进一步简化为：A+EX-X=A将X的项移到等号左边，得到：X-A=EX-A

答：再将左边的X-A移动到右边，得到：X= (E-B)^(-1)(A)因为E-B可逆，所以(E-B)^(-1)存在。因此，上述解法是可行的。因此，方程A+BX=X的解为X=(E-B)^(-1)(A)。