Question

利用定积分的几何意义求以下定积分的值:(1)∫1到3(2x+1)dx (2)∫0到π cosx dx (3)∫-3到3 x^5 dx (4)∫-2到3 x的绝对值 dx 把答案过程写纸上，还有画图

Answer 1

问：利用定积分的几何意义求以下定积分的值:(1)∫1到3(2x+1)dx (2)∫0到π cosx dx (3)∫-3到3 x^5 dx (4)∫-2到3 x的绝对值 dx 把答案过程写纸上，还有画图

问：麻烦写纸上 还有画图

答：我试一下哦。

答：(1) 定积分∫1到3(2x+1)dx的几何意义是：图像y=2x+1与x轴之间的面积，由此可以发现，y=2x+1是一条斜率为2，截距为1的直线，与x轴交点为(0.5,0)。因此，在区间[1,3]上，y=2x+1的图像所代表的面积即为矩形BCFG的面积加上三角形ABC的面积。其中，矩形BCFG的面积为(3-1)×(2×3+1)=14，三角形ABC的面积为(3-1)×(2×1+1)/2=3。因此，∫1到3(2x+1)dx=14+3=17。(2) 定积分∫0到π cosxdx的几何意义是：图像y=cosx与x轴之间的面积，可以看到，当x在[0,π]区间内变化时，cosx在x轴上方和下方分别交替出现，因此整个区间上cosx的图像与x轴之间的面积为0，即∫0到π cosxdx=0。(3) 定积分∫-3到3 x5dx的几何意义是：图像y=x5与x轴之间的面积，在区间[-3,3]上，y=x5的图像是一个关于原点对称的奇函数，因此x0两侧的面积相等。而在x>0的部分，y=x5的图像与x轴之间的面积是矩形ABGH和曲线AGF围成的面积，可以使用定积分计算得到。具体地，∫0到3 x^5dx=[(3)^6-(0)^6]/6=729/6=121.5因此，在[-3,3]上，y=x^5的图像与x轴之间的面积为2×121.5=243。(4) 定积分∫-2到3 |x|dx的几何意义是：图像y=|x|与x轴之间的面积，可以看到，在[-2,0]区间上，y=|x|的图像落在x轴下方，因此在该区间上的面积为∫-2到0 (-x)dx=[(0-(-2))2]/2=2；而在[0,3]区间上，y=|x|的图像落在x轴上方，因此在该区间上的面积为∫0到3 xdx=[(3-0)2]/2=4.5。因此，在[-2,3]上，y=|x|与x轴之间的面积为2+4.5=6.5，即∫-2到3 |x|dx=6.5。

问：我说了写到纸上啊