Question

对圆求二重积分

Answer 1

圆是一个非常基础也容易理解的图形，而求解圆的二重积分也是基础中的基础。首先，在平面直角坐标系中，一个圆的标准方程为$x^2+y^2=r^2$，其中$r$为圆的半径。想要求解圆的二重积分，需要注意到圆是一个简单曲线，因此可以使用极坐标进行求解。
假设圆心在坐标系原点，则一个点$(x，y)$在极坐标系下的坐标为$(r，\theta)$，其中$r=\sqrt{x^2+y^2}$，$\theta=\arctan(\frac{y}{x})$。此时，圆的标准方程在极坐标系下的表达式为$r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2$，即$r^2=r^2$，因此圆在极坐标系下的方程为$r=\sqrt{x^2+y^2}=r_0$，其中$r_0$为圆的半径。
根据极坐标下面积元素的表示式$dA=rdrd\theta$，可得圆的二重积分公式为$\iint_{D}f(x，y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r_0}f(r\cos\theta，r\sin\theta)rdrd\theta$。
同样地，根据极坐标下的积分变量表示法，将$x=r\cos\theta$和$y=r\sin\theta$代入可得：$\iint_{D}f(x，y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r_0}f(r\cos\theta，r\sin\theta)rdrd\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r_0}f(rcos\theta，rsin\theta)rdrd\theta$。
因此，对圆进行二重积分，只需要通过极坐标系下的公式进行计算即可。需要注意的是，在使用极坐标系计算二重积分时，需要根据被积函数的形式选择相应的变量表示，并且在确定极限时需要考虑到被积函数在极坐标系下的连续性。