对圆求二重积分

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追光djz0
2023-07-13 · TA获得超过400个赞
知道小有建树答主
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圆是一个非常基础也容易理解的图形,而求解圆的二重积分也是基础中的基础。首先,在平面直角坐标系中,一个圆的标准方程为$x^2+y^2=r^2$,其中$r$为圆的半径。想要求解圆的二重积分,需要注意到圆是一个简单曲线,因此可以使用极坐标进行求解。
假设圆心在坐标系原点,则一个点$(x,y)$在极坐标系下的坐标为$(r,\theta)$,其中$r=\sqrt{x^2+y^2}$,$\theta=\arctan(\frac{y}{x})$。此时,圆的标准方程在极坐标系下的表达式为$r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2$,即$r^2=r^2$,因此圆在极坐标系下的方程为$r=\sqrt{x^2+y^2}=r_0$,其中$r_0$为圆的半径。
根据极坐标下面积元素的表示式$dA=rdrd\theta$,可得圆的二重积分公式为$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r_0}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$。
同样地,根据极坐标下的积分变量表示法,将$x=r\cos\theta$和$y=r\sin\theta$代入可得:$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r_0}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r_0}f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta$。
因此,对圆进行二重积分,只需要通过极坐标系下的公式进行计算即可。需要注意的是,在使用极坐标系计算二重积分时,需要根据被积函数的形式选择相应的变量表示,并且在确定极限时需要考虑到被积函数在极坐标系下的连续性。

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