cosx的4次方的不定积分
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我们可以利用恒等式将cos^4x表示为cos^2x的函数，然后再用代换法求解不定积分。cos^4x = (cos^2x)^2= (1 - sin^2x)^2= 1 - 2sin^2x + sin^4x因此，我们可以将cos^4x表示为1 - 2sin^2x + sin^4x的形式。然后做代换u = sinx，du = cosxdx，得到：∫cos^4x dx = ∫(1 - 2sin^2x + sin^4x)dx= ∫(1 - 2u^2 + u^4)du/cosx= ∫(1 - 2u^2 + u^4)secx dx然后，我们可以将(1 - 2u^2 + u^4)拆开，得到：∫cos^4x dx = ∫secx dx - 2∫u^2secx dx + ∫u^4secx dx第一个不定积分∫secx dx 等于ln|secx + tanx| + C，其中C为常数。 对于后面两个不定积分，我们可以使用不定积分公式：∫u^nsecx dx = 1/n(u^n-2)tanx + n-2/n ∫u^n-2secx dx将n分别取为2和4，得到：
咨询记录 · 回答于2023-05-20
cosx的4次方的不定积分
我们可以利用恒等式将cos^4x表示为cos^2x的函数，然后再用代换法求解不定积分。cos^4x = (cos^2x)^2= (1 - sin^2x)^2= 1 - 2sin^2x + sin^4x因此，我们可以将cos^4x表示为1 - 2sin^2x + sin^4x的形式。然后做代换u = sinx，du = cosxdx，得到：∫cos^4x dx = ∫(1 - 2sin^2x + sin^4x)dx= ∫(1 - 2u^2 + u^4)du/cosx= ∫(1 - 2u^2 + u^4)secx dx然后，我们可以将(1 - 2u^2 + u^4)拆开，得到：∫cos^4x dx = ∫secx dx - 2∫u^2secx dx + ∫u^4secx dx第一个不定积分∫secx dx 等于ln|secx + tanx| + C，其中C为常数。 对于后面两个不定积分，我们可以使用不定积分公式：∫u^nsecx dx = 1/n(u^n-2)tanx + n-2/n ∫u^n-2secx dx将n分别取为2和4，得到：
将n分别取为2和4，得到：∫u^2secx dx = 1/2 tanx + 1/2 ∫secx dx= 1/2 tanx + 1/2 ln|secx + tanx| + C1∫u^4secx dx = 1/4 u^2tanx + 3/4 ∫u^2secx dx= 1/4 sin^2x cosx + 3/8 tanx - 3/8 ln|secx + tanx| + C2将上述三个不定积分代入∫cos^4x dx，得到：∫cos^4x dx = ln|secx + tanx| - 2(1/2 tanx + 1/2 ln|secx + tanx| + C1) + 1/4 sin^2x cosx + 3/8 tanx - 3/8 ln|secx + tanx| + C2化简即可得到最终的结果：∫cos^4x dx = 1/8(3sinx cosx + sin^3x cosx) + 1/4x - 1/4sinx cosx + ln|secx + tanx| + C
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