Question

在△ABC中,角ABC分别对应边abc,且3a²+b²-c²=0。求证2tanB+tanC=0

Answer 1

问：在△ABC中,角ABC分别对应边abc,且3a²+b²-c²=0。求证2tanB+tanC=0

答：根据正弦定理，有asinA=bsinB=csinC，所以b=asinBsinA，c=asinCsinA。代入条件3a2+b2−c2=0，得3a2+a2sin2Bsin2A−a2sin2Csin2A=0，整理得sin2Bsin2A−sin2Csin2A=−3，即sin2B−sin2C=−3sin2A。根据正切的定义，有tanB=bacosB，tanC=cacosC。代入b和c的表达式，得tanB=sinBcosB⋅1tanA，tanC=sinCcosC⋅1tanA。因此，2tanB+tanC=2sinBcosB⋅1tanA+sinCcosC⋅1tanA=2sinBcosC+sinCcosBcosBcosCsinA。根据正弦定理和余弦定理，有sinB=bcsinC=asinBasinCsinC=asinBccosA，cosB=a2+c2−b22ac=2a2−c22ac，cosC=a2+b2−c22ab=b2−a2+c22ab=a2+2ab−b22ab=2a+b2b。代入上式，得2tanB+tanC=2asinBccosA⋅2a+b2b+asinBccosAac⋅2a+b2bsinA=4a2sinBcosA+2absinBcosA+abcsinBcosAa(2a+b)sinA。根据正弦定理和条件3a2+b2−c2=0，有sinA=csinBa=3–√a2c，c2=3a2+b2=4a2，c=2a。代入上式，得2tanB+tanC=4a2sinBcosA+2absinBcosA+abcsinBcosAa(2a+b)sinA=4a2sinBcosA+2absinBcosA+abcsinBcosA32a23–√。根据sin2B−sin2C=−3sin2A，得(sinB+sinC)(sinB−sinC)=−3sin2A。根据余弦定理和正弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc=b2+4a2−b24a2=34，sinA=csinBa=3–√2。代入上式，得2tanB+tanC=4a2sinB⋅34+2absinB⋅34+abcsinB⋅3432a23–√=53–√2=0.866…。因此，2tanB+tanC≠0，证毕。