已知2阶方阵A的特征值为=1.4=0.7，对应的特征向量分别为 P1=(6,-5),P2=(1,1)。
①验证P1,P2能否构成R2的基？
②若P1,P2能构成R2的基，求向量x。=(1,2)在P1,P2下的坐标；
③对于离散动力系统x=Ax(k=0,1,2,…),利用A的特征体系分析，k→+0时，x的变
化趋势。

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摘要 ① 验证P1,P2能否构成R2的基？由于P1, P2是2阶方阵A的特征向量，因此它们线性无关。我们只需要验证它们张成的空间是否为R2即可。设向量x=(x1, x2)，则由于P1, P2是R2的基，x可以表示为x=aP1+bP2的形式，其中a和b是实数。因此只需要证明任意一个向量都可以表示成aP1+bP2的形式即可。设向量y=(y1, y2)，我们需要证明存在实数a和b，使得y=aP1+bP2。根据向量的线性组合，我们可以列出如下方程组：6a + b = y1-5a + b = y2解得：a = (y1 + 5y2) / 17b = (6y1 - y2) / 17因此，对于任意向量y=(y1, y2)，都可以表示成aP1+bP2的形式，因此P1, P2可以构成R2的基。② 若P1,P2能构成R2的基，求向量x=(1,2)在P1,P2下的坐标我们需要求解向量x在P1,P2下的坐标，即找到实数a, b，使得x=aP1+bP2。由于P1和P2是特征向量，满足条件AP1=λ1P1和AP2=λ2P2，其中λ1和λ2是特征值。因此有：AP1 = 1.4P1AP2 = 0.7P2由此可以得到：[6 -5][a] [1.4a] [1][1 1][b] = [0.7b] = [2]化简可得：a = 0.5b = 1.5因此，向量x在P1,P2下的坐标为(0.5, 1.5)。③ 对于离散动力系统x=Ax(k=0,1,2,…),利用A的特征体系分析，k→+0时，x的变化趋势。我们可以将x表示为x=a1λ1^kP1+a2λ2^kP2的形式，其中a1, a2是常数，λ1和λ2是特征值。当k→+0时，λ1^k和λ2^k都会趋向于1，因此有：x = a1P1 + a2P2由题目可知P1=(6,-5), P2=(1,1)，因此x的变化趋势可以由P1和P2的组合来描述。因为P1和P2构成了R2的基，因此x可以表示为P1和P2的线性组合。当k→+0时，x的变化趋势与P1和P2的线性组合相关，具体的变化趋势需要根据a1和a2的取值来确定。

咨询记录 · 回答于2023-05-21

化趋势。

已知2阶方阵A的特征值为=1.4=0.7，对应的特征向量分别为

P1=(6,-5),P2=(1,1)。

①验证P1,P2能否构成R2的基？

②若P1,P2能构成R2的基，求向量x。=(1,2)在P1,P2下的坐标；

③对于离散动力系统x=Ax(k=0,1,2,…),利用A的特征体系分析，k→+0时，x的变

已知2阶方阵A的特征值为=1.4=0.7，对应的特征向量分别为

化趋势。

③对于离散动力系统x=Ax(k=0,1,2,…),利用A的特征体系分析，k→+0时，x的变

②若P1,P2能构成R2的基，求向量x。=(1,2)在P1,P2下的坐标；

①验证P1,P2能否构成R2的基？

P1=(6,-5),P2=(1,1)。

已知2阶方阵A的特征值为=1.4=0.7，对应的特征向量分别为

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