Question

在三角形abc中,若ab向量,ac向量为已知向量,该平面上有一点p,求ap方加bp方加cp方的最小值，并说明此时点p的位置

Answer 1

问：在三角形abc中,若ab向量,ac向量为已知向量,该平面上有一点p,求ap方加bp方加cp方的最小值，并说明此时点p的位置

答：知三角形ABC中，向量\vec{AB}和\vec{AC}，求该平面上点$P$到定点A的距离AP、到定点B的距离BP、到定点C的距离CP的平方和的最小值，以及此时点P的位置。设点P的坐标为（x,y)，则有向量\vec{AP}=(x-x_A,y-y_A)，\vec{BP}=(x-x_B,y-y_B)，\vec{CP}=(x-x_C,y-y_C)。根据余弦定理，可得AP^2=(x-x_A)^2+(y-y_A)^2BP^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2CP^2=(x-x_C)^2+(y-y_C)^2

答：则有AP^2+BP^2+CP^2=3x^2+3y^2-2(ax+by)+c其中，a=2(x_B-x_A)$，$b=2(y_B-y_A)$，$c=AB^2。对于任意实数k，有AP^2+BP^2+CP^2=3(x^2-2kx+y^2-2ky)+3k^2+2ak+2bk+c=3(x-k)^2+3(y-k)^2+3k^2+2ak+2bk+c-3k^2=3(x-k)^2+3(y-k)^2+2a(x-k)+2b(y-k)+c-2k(a+b)由于2a(x-k)+2b(y-k)$是定值，所以$AP^2+BP^2+CP^2最小值的充要条件是:当k=\frac{a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)}{a^2+b^2}时，AP^2+BP^2+CP^2取得最小值，此时点P的坐标为

答：\left(\frac{a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A)}{a^2+b^2}+x_A,\frac{a(y_B-y_A)+b(x_A-x_B)}{a^2+b^2}+y_A\right)即为所求。因此，该平面上点P到定点A的距离AP、到定点$B$的距离BP、到定点C的距离CP的平方和的最小值为AP^2+BP^2+CP^2=AB^2+AC^2+\frac{1}{2}BC^2