Question

21.已知函数 f(x)=ax-sinx/(cosx)^3, (0<x<兀/2) (1)讨论函数f

Answer 1

问：21.已知函数 f(x)=ax-sinx/(cosx)^3, (0

答：亲亲，您好。很高兴为您解答：函数f(x)的定义域。由于在分母cos x上，我们知道定义域不包括x = π/2 + kπ (k为整数)，但是在分子中的sin x引入了一个新的限制条件。当sin x = 0时，分子为0，此时f(x)没有定义。函数的定义域为0 < x π/2，x ≠ kπ (k为整数)。接下来，我们来看函数f(x)的奇偶性。将f(-x)代入函数f(x)的表达式中，f(-x) = a(-x) - sin(-x) / (cos(-x))^3= -a(x) + sin(x) / cos^3(x)当a(x) = 0时，有f(-x) = -f(x)，即f(x)是奇函数。而当a(x) ≠ 0时，则f(x)不具有奇偶性。函数f(x)的单调性可以通过求导来判断。对f(x)求导，得到：f’(x) = [a - sin x cos^2x - 3a sin^2x] / cos^4x要使函数f(x)单调递增，f’(x) > 0。化简不等式，得到：a > sin x cos^2x + 3a sin^2x

答：当a > 0时，易知f(x)在0到π/2上单调递增。当a = 0时，f(x)是奇函数，只需考虑其在[0, π/4)上的单调性。当sin x > 0时，f’(x) < 0；当sin x 0时，f’(x) > 0。f(x)在[0, π/4)上单调递减，在(π/4, π/2)上单调递增。当a 0时，f’(x)的正负由sin x的符号决定，因此f(x)的单调性与sin x的正负性相关。由于f’(x)的符号与sin x的正负性相关，f(x)的极值和拐点需要与sin x相关。当sin x = 0时，f '(x)的值为a / cos^4x，因此当a > 0时，函数f(x)在x = 0处有极小值；当a 0时，函数f(x)在x = 0处有极大值。当sin x = ±1 / sqrt(3)时，f '(x)的值为(a ± 2sqrt(3)a) / 27cos^4x。当a > -2sqrt(3)a / 3时，f '(x)的符号与sin x的符号相反，函数f(x)在x = ±arcsin(1 / sqrt(3))处有拐点；当a < -2sqrt(3)a / 3时，f '(x)在x = ±arcsin(1 / sqrt(3))处没有符号改变，函数f(x)在x = ±arcsin(1 / sqrt(3))处没有拐点。

问：想具体知道怎么求导的

答：函数的导数，表示函数在某个点的变化速率，通常用f'(x)或y'表示。求导的方法是使用微积分中的极限概念，即求出函数在某一点的切线斜率，也就是导数。对于函数f(x) = x^2，它在点x处的导数可以这样计算：f'(x) = lim(h→0)[f(x+h)-f(x)] / h = lim(h→0)[(x+h)^2 - x^2] / h = lim(h→0)[x^2 + 2xh + h^2 - x^2] / h = lim(h→0)(2x + h) = 2x函数f(x)在任何点的导数都是2x。