Question

设lim n→无穷An＝a 证明：lim n→无穷（A1+2A2+...+nAn）/n的平方

Answer 1

问：设lim n→无穷An＝a 证明：lim n→无穷（A1+2A2+...+nAn）/n的平方

答：要用极限的定义来证明limAn＝a, 对ε，存在N，n>N,|An-a|<ε|(A1+A2+...+An)/n-a|《（|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|+...+|An-a|)/n因为N是定数，lim(|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|)/n=0，存在M，n>M时,(|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|)/n<ε于是：|(A1+A2+...+An)/n-a|《（|A1-a|+|A2-a|+...+|AN-a|+...+|An-a|)/n<ε+(n-N)ε/n=2ε所以：lim(A1+A2+...+An)/n=a