Question

∫1／√x(1+x)dx怎样算？

Answer 1

求解一元函数积分∫1／√x(1+x)dx的方法如下：先将分母拆分成两个部分，即1/√x和1/√(1+x)，然后将分子和分母同时乘以1/√(1+x)，即可得到：

∫1／√x(1+x)dx = ∫1/√x * 1/√(1+x) * √(1+x) dx

接着，通过代换法，令u=1+x，即 x=u-1，dx=du，可以将原积分转化为：

∫1/√(u-1) * 1/√u * du

再对分母和分子提取出来进行合并，可以得到如下的积分式子：

∫(1/√u -1/√(u-1)) du

接下来直接进行积分，得到：

2√u - 2√(u-1) + C

将u=1+x带回原积分式中，就得到了∫1／√x(1+x)dx = 2√(1+x) - 2√x + C。

Answer 2

这是一道不定积分题目，可以通过换元法来求解。具体步骤如下：

1. 令 u = 1 + x，则 du/dx = 1，dx = du。

2. 将 x 和 dx 用 u 表示，得到原式：∫1/√(u-1) du。

3. 对 ∫1/√(u-1) 进行变形和化简：

- 令 u - 1 = t^2，即 u = t^2 + 1，du = 2t dt。

- 当 u = 1 时，t = 0；

- 当 u ∞ 时，t ∞。

- 因此，∫1/√(u-1) du = ∫2t/(t^2) dt = 2*ln|t|+C =2*ln|√(u-1)|+C。

4. 将 u 替换回原式中的变量 x，得到积分结果为：

∫1/√x(1+x)dx = 2*ln|√(1+x)-1|+C。

因此，原式的不定积分为 2*ln|√(1+x)-1|+C。其中 C 为常数项。