若f和g是满射则fg是满射证明
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(1) 证明。
当 f 和 g 都是单射时。
g∘f 也是单射。 反证法：
设存在不同样的 x1 和 x2，满足 (g∘f)x1=(g∘f)x2。
已知 f 是单射。所以 f(x1)≠f(x2)
设 y1=f(x1)。 y2=f(x2)。 y1≠y2。
那么 g(y1)=g(y2) 这与g 是单射矛盾。
所以g∘f 也是单射。
(2) f、g 是满射时，g∘f 也是满射。
由于 g 是满射，所以对随意的 z∈Z， 存在 y∈Y 使得 g(y)=z
由于 f 是满射，所以存在 x∈X 满足 f(x)=y
所以对于随意的 z∈Z 都存在 x∈X 满足 (g∘f)(x)=z
所以g∘f 是满射
咨询记录 · 回答于2023-12-27
若f和g是满射则fg是满射证明
条件写反了吧？我是说在已知若f和g是满射的条件下证fg是满射呀
f、g 是满射时，g∘f 也是满射。
由于 g 是满射，所以对随意的 z∈Z，存在 y∈Y 使得 g(y)=z。
由于 f 是满射，所以存在 x∈X 满足 f(x)=y。
所以，对于随意的 z∈Z，都存在 x∈X 满足 (g∘f)(x)=z。
所以，g∘f 是满射。
(1) 证明。
当 f 和 g 都是单射时。
g∘f 也是单射。 反证法：
设存在不同样的 x1 和 x2，满足 (g∘f)x1=(g∘f)x2。
已知 f 是单射。所以 f(x1)≠f(x2)
设 y1=f(x1)。 y2=f(x2)。 y1≠y2。
那么 g(y1)=g(y2) 这与g 是单射矛盾。
所以g∘f 也是单射。
(2) f、g 是满射时，g∘f 也是满射。
由于 g 是满射，所以对随意的 z∈Z，存在 y∈Y 使得 g(y)=z
由于 f 是满射，所以存在 x∈X 满足 f(x)=y
所以对于随意的 z∈Z 都存在 x∈X 满足 (g∘f)(x)=z
所以g∘f 是满射
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