Question

11.判断函数f(z)=2xy-ix2的可导性和解析性

Answer 1

问：11.判断函数f(z)=2xy-ix2的可导性和解析性

答：您好，很高兴为你解答！ 在复平面上，一个函数f(z)是可导的，当且仅当存在一个函数g(z)，使得f(z)的复数导数为f'(z) = lim h→0 (f(z+h) - f(z)) / h= lim h→0 (g(z+h) - g(z)) / h= g'(z)这意味着函数f(z)可以通过另一个函数g(z)表示，即f(z) = g(z) + c，其中c是常数。对于函数f(z) = 2xy - ix^2，我们可以使用欧拉公式（f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是实数函数）来表示f(z)的可导性。根据欧拉公式，函数f(z)的复数导数为f'(z) = (∂u/∂x + ∂v/∂y) + i(∂u/∂y - ∂v/∂x)= (2y - 2ix) + i(2x)= 2y - 2ix + 2xi= 2y + 2xi

答：因此，函数f(z)是可导的。至于解析性，一个函数f(z)在平面上是解析的，当且仅当它的复数导数f'(z)在整个平面上都存在。对于函数f(z) = 2xy - ix^2，它的复数导数f'(z) = 2y + 2xi在整个平面上都存在，因此函数f(z)在平面上是解析的。