Question

【题目】如图，在边长为4 的正方形 ABCD 中，动点 E , F 分别以相同的速度从 D , C两点同时出发向点 C 和点 B 运动（任何一个点到达即停止），连接 BF , AE , BF 与 AE 交于点 P ，过点 P 作 PMCD 交 BC 于点 M , PN BC 交 CD 于点 N ，连接 MN ，则线段 MN 的最小值为＿

Answer 1

问：【题目】 如图，在边长为4 的正方形 ABCD 中，动点 E , F 分别以相同的速度从 D , C 两点同时出发向点 C 和点 B 运动（任何一个点到达即停止）， 连接 BF , AE , BF 与 AE 交于点 P ，过点 P 作 PMCD 交 BC 于点 M , PN BC 交 CD 于点 N ，连接 MN ， 则线段 MN 的最小值为＿。 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及轴对称-最短路线问题，解题的关键是掌握线段最短的基本模型。 【解答】 解：设正方形ABCD的边长为$4$， $\because$动点E、F分别以相同的速度从D、C两点同时出发向点C和点B运动（任何一个点到达即停止）， $\therefore$当E、F分别运动到CD、CB的延长线上时，此时线段MN最小， 此时$DE = CF = 2$， $\therefore AE = BF = 2\sqrt{5}$， $\because$四边形ABCD是正方形， $\therefore\angle ABE = \angle BCF = 90^{\circ}$，AB = BC， $\therefore$在$Rt \bigtriangleup ABE$和$Rt \bigtriangleup BCF$中， 由勾股定理得：$BE = CF = 2$， $\therefore BE + CF = 4$，即BC的长度， $\therefore\angle BEC = \angle BFC = 90^{\circ}$，且BE = CF，BC为公共边， $\therefore$在$Rt \bigtriangleup BEC$和$Rt \bigtriangleup BFC$中，由HL全等定理得：$Rt \bigtriangleup BEC \cong Rt \bigtriangleup BFC$， $\therefore\angle EBC = \angle FCB$，且PM⊥BC于M，PN⊥DC于N， $\therefore$四边形PMCN是矩形， $\therefore MN = PC = BC - BE - CF = 4 - 2 - 2 = 0$。

答：答案是：7

答：在边长为4的正方形ABCD中， 动点E，F分别以相同的速度从D，C两点同时出发向点C和点B运动（任何一个点到达即停止）， 连接BF，AE，BF与AE交于点P， 过点P作PMCD交BC于点M，PNBC交CD于点N， 连接MN， 则线段MN的最小值为7。

答：数学解题方法总结： 1. 直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。 2. 特殊值法（特殊值淘汰法）：有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关。在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。 3. 淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4. 逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略。每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5. 数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义。使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。

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