Question

常微分求解x(y^4-x^2)dy+y(y^4+x^2)dx=0

Answer 1

问：常微分求解x(y^4-x^2)dy+y(y^4+x^2)dx=0

答：您好，我们可以使用分离变量的方法来求解哦。首先，我们将方程进行简化，得到：$\frac{dy}{dx}=-\frac{y(y^4+x^2)}{x(y^4-x^2)}$接下来，我们可以将变量分离，并将其化为标准形式：$\frac{y^4+x^2}{y^4-x^2}dy+\frac{x}{y}dx=0$对于左边的部分，我们可以进行一次简单的分式分解：$\frac{y^4+x^2}{y^4-x^2}=\frac{y^2}{y^2-x}+\frac{x}{x-y^2}$接下来，我们将原方程改写为以下形式：$\frac{y^2}{y^2-x}dy+\frac{x}{x-y^2}dx=-\frac{x}{y}dx$对于等式左侧，我们可以使用部分分式的方法将其拆分成以下两部分：$\frac{y^2}{y^2-x}dy=\frac{y^2-1}{y^2-x}dy+\frac{1}{y^2-x}xdy$$\frac{x}{x-y^2}dx=\frac{1}{x-y^2}xdx$

答：将两个式子代入原方程： $(\frac{y^2-1}{y^2-x}+\frac{1}{x-y^2})xdy+(\frac{1}{y^2-x}-\frac{x}{x-y^2})dx=0$下面我们来分别对等式左右进行积分。对于左边的的部分：$\int(\frac{y^2-1}{y^2-x}+\frac{1}{x-y^2})xdy=\int(\frac{y^2-1}{x-y^2}+\frac{1}{y^2-x})xdy$令$u=y^2$，得到：$\int(\frac{u-1}{x-u}+\frac{1}{u-x})xd(\sqrt{u})$使用公式$\int\frac{1}{ax+b}\ dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$，即可解出该式的积分。对于右边的部分：$\int(\frac{1}{y^2-x}-\frac{x}{x-y^2})dx=\int(\frac{1}{u-x}-\frac{x}{u-x})d(\sqrt{u})$使用公式$\int\frac{1}{ax+b}\ dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$，即可解出该式的积分。最终，我们得到了方程的通解：$\ln|\frac{y^2-1}{x-y^2}|+2\ln|x|=\frac{1}{2}\ln|y^4-x^2|+C$

答：补充：本题中，我们使用了分离变量和部分分式分解的方法来求解方程。分离变量和部分分式分解是常微分方程无法化为一阶形式的方程求解中的基本方法。在实际运用中，我们可以结合具体的问题进行选择。除这个之外，我们还可以采用变量代换等方法进行求解，读者可以进一步扩展相关内容。

问：饿，你用的符号我看不懂呀

答：进行分离变量后，将式子改写为dy/dx=-y(x^2+y^4)/(x(y^4-x^2))，然后再进行积分求解。但是，由于分母有y^4-x^2这样的涉及x和y的二次项，所以需要进行变量代换哦。可以令u = x^2+y^4，v = x/y，则式子可以改写为dv/dy = -v/u，然后再进行分离变量和积分求解。最终的解为ln|y| = C - ln(x^2+y^4)，其中C为常数。

答：补充：这道题目需要使用到两个技巧，一是分离变量，二是变量代换。在解决涉及到多个变量的方程时，变量代换是一个非常实用的工具，可以把问题转化为只涉及一个变量的情形。同时，在进行变量代换时，需要注意原方程和代换后的方程之间的对应关系，以及代换后的方程是否更容易求解。另外，还需要注意到在积分过程中，积分常数C的大小和方向的不同，会导致最终的解的形式也不同。可以采用一些特殊的技巧，如将方程变形为一个恰当的形式来避免积分常数对解的影响。所以，在解决复杂的微分方程时，需要运用多种数学工具和技巧，才能得到准确的解答。

答：这样呢亲

问：变量代换那块可以讲一下吗，我们还没讲到这种方法，我做的分离变量后就不知道怎么继续了

答：基本思路是将原方程中的自变量用某个新的函数表示。这样可以将微分方程转化为更简单的形式，进而求解。常用的变量代换包括：线性代换、三角代换、指数代换等哦。

答：常微分变量代换可以用来解决一些复杂的微分方程，即使是无法直接求解的微分方程，也可以通过适当的变量代换转化为更容易处理的形式。其基本原理是将自变量用某个新的函数表示，该函数应该具有一些特殊的性质，使得变量代换后的微分方程更容易求解。比如，可以通过线性代换将二阶线性微分方程转化为常微分方程组，而三角代换可用于求解含有三角函数的微分方程。常微分变量代换还可以用于求解一些物理问题，如振动问题、电路问题等。在振动问题中，常常需要利用常微分变量代换将二阶微分方程转化为常微分方程组，进而求解。在电路问题中，常微分变量代换可以用来求解含有电感、电阻、电容等元素的电路方程。通过变量代换，可以将原方程转化为更简单的形式，并求解出相应的物理量。