一块长方形菜地,一面靠墙,把这块菜地围上篱笆,围后的长和宽都是整米数,量得篱
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笆的周长是 $C$，菜地靠墙的一边长为 $x$ 米。由于长和宽都是整米数，所以菜地的长和宽可以表示为：
$$
\begin{align*}
l &= x + k \\
w &= y + m
\end{align*}
$$
其中 $k, m \in \mathbb{Z}$ 表示篱笆在两条边上各占了多少米，即 $k$ 和 $m$ 分别表示篱笆在靠墙边和不靠墙边上的多余长度（或者多余宽度）。
因此，篱笆的周长可以表示为：
$$
C = 2(l + w) = 2(x + k + y + m)
$$
而另一方面，篱笆的周长又等于菜地的周长加上靠墙的一边的长度，即：
$$
C = 2(n + m) + x
$$
将以上两式联立可得：
$$
2(n + m) + x = 2(x + k + y + m)
$$
化简后可得：
$$
n + k = y
$$
也就是说，篱笆在靠墙边上的多余长度 $k$ 等于菜地不靠墙边的宽度 $y$ 减去篱笆在不靠墙边上的多余长度 $n$。因此，要使篱笆的面积最小，只需要让 $k$ 和 $n$ 的绝对值之和最小即可。如果已知篱笆的周长 $C$，可以通过枚举 $k$ 和 $n$ 的值，计算出每种情况下的 $k+n$ 的绝对值之和，找到最小值所对应的 $k$ 和 $n$，然后就可以求出篱笆的长度和宽度。
咨询记录 · 回答于2024-01-17
一块长方形菜地,一面靠墙,把这块菜地围上篱笆,围后的长和宽都是整米数,量得篱
笆的周长是 $C$，菜地靠墙的一边长为 $x$ 米。
由于长和宽都是整米数，所以菜地的长和宽可以表示为：
$$ l=x+k, \quad w=y+m $$
其中 $k,m\in \mathbb{Z}$ 表示篱笆在两条边上各占了多少米。
即 $k$ 和 $m$ 分别表示篱笆在靠墙边和不靠墙边上的多余长度（或者多余宽度）。
因此，篱笆的周长可以表示为：
$$ C=2(l+w)=2(x+k+y+m) $$
而另一方面，篱笆的周长又等于菜地的周长加上靠墙的一边的长度，即：
$$ C=2(n+m)+x $$
将以上两式联立可得：
$$ 2(n+m)+x=2(x+k+y+m) $$
化简后可得：
$$ n+k=y $$
也就是说，篱笆在靠墙边上的多余长度 $k$ 等于菜地不靠墙边的宽度 $y$ 减去篱笆在不靠墙边上的多余长度 $n$。
因此，要使篱笆的面积最小，只需要让 $k$ 和 $n$ 的绝对值之和最小即可。
如果已知篱笆的周长 $C$，可以通过枚举 $k$ 和 $n$ 的值，计算出每种情况下的 $k+n$ 的绝对值之和，找到最小值所对应的 $k$ 和 $n$，然后就可以求出篱笆的长度和宽度。
量得篱笆一共长12米，这块莱地的面积是多少平方米？最大面积是多少平方米？
假设篱笆长为 $l$，宽为 $w$。
根据题目条件，我们可以得到以下两个方程：
1. $2(l+w)=12$
2. $lw=S$
其中 $S$ 为莱地的面积。
将第一个方程变形，我们得到：
$l=6-w$
将其代入第二个方程，我们得到：
$S=w(6-w)=-w^2+6w$
这是一个关于 $w$ 的二次函数，开口向下，对称轴为 $w=3$。
因此，最大值出现在对称轴上，即当 $w=3$ 时，面积最大，最大面积为：
$S_{\max}=3(6-3)=9$
当 $w=2$ 或 $w=4$ 时，莱地的面积为：
$S=2(6-2)=8$
$S=4(6-4)=8$
因此，这块莱地的面积为 $8$ 平方米，最大面积为 $9$ 平方米。
重点是第二问最大是多少平方米？如何理解？
最大面积为 $9$ 平方米。
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