Question

t^4-t^3-4t^2-3t-3=0

Answer 1

问：t^4-t^3-4t^2-3t-3=0

答：要解决这个方程，我们可以使用有理根定理来找到可能的有理根。 有理根定理表明，如果一个整系数多项式有一个有理根p/q，其中p和q是没有公因数的整数，则p必须整除多项式的常数项，q必须整除多项式的最高次项系数。 在这个方程中，常数项是-3，最高次项系数是1。因此，可能的有理根是：±1, ±3。 我们可以通过合成除法或长除法尝试这些值，看看它们是否是方程的根。我们可以从t = 1开始： 1 | 1 -1 -4 -3 -3 | 1 0 -4 -7 -10 |______________ 1 0 -4 -7 -10 由于余数不为零，t = 1不是一个根。我们可以尝试t = -1： -1 | 1 -1 -4 -3 -3 | -1 2 2 1 2 |______________ 1 -2 -2 -2 -1 同样地，余数不为零，t = -1也不是一个根。我们可以尝试t = 3： 3 | 1 -1 -4 -3 -3 | 3 6 6 9 18 |______________ 1 2 2 6 15 余数仍然不为零，因此t = 3也不是根。最后，我们可以尝试t = -3： -3 | 1 -1 -4 -3 -3 | -3 12 -24 69 -198 |______________ 1 -4 -28 66 -201 余数为零，因此t = -3是一个根。我们可以使用多项式长除法或合成除法将方程除以(t + 3)：(t+3)(t^3-4t^2-28t+67) = 0 二次项可以分解为(t - 1)(t - 3)，因此方程的完整分解形式为：(t+3)(t-1)(t-3)(t^2 - 3t - 1) = 0 因此，解为：t = -3, 1, 3, (3 ± √13)/2