Question

证明1/n^2级数的收敛性

Answer 1

当我们考虑证明1/n^2级数的收敛性时，首先需要明确的是什么是收敛性。在数学中，一个级数的收敛性意味着这个级数的部分和随着加和次数无限增加，趋近于一个特定的数值。因此，如果我们能够证明一系列部分和随着加和次数的增加趋近于一个特定数值，我们就可以证明该级数的收敛性。
对于1/n^2级数，我们可以开始使用比较测试证明其收敛性。具体来说，我们可以比较1/n^2级数与调和级数1/n。调和级数虽然是一个发散级数，但如果对于1/n^2级数，我们可以说明它的和不会超过一个调和级数的和，即：
∑(n=1，∞) 1/n^2 <= ∑(n=1，∞) 1/n
这个不等式成立，因为当 n>=2 时，1/n > 1/n^2。右边的无穷级数因为是调和级数，是一个发散级数，所以我们可以推出1/n^2级数是收敛的。
另一种证明1/n^2级数收敛的方法是使用积分测试。我们可以将1/n^2的级数项看做为函数 f(x) = 1/x^2 并且将其与连续函数 g(x) = 1/x^2 对比，其中 g(x) 是 f(x) 的一个下界。具体来说，我们可以应用积分检验法来比较 ∑(n=1，∞) 1/n^2 与 ∫(1，∞) dx/x^2。这两个级数的和或积分区间上限均为正无穷大。因此，我们可以将它转化为一个定积分问题：
∑(n=1，∞) 1/n^2 = ∫(1，∞) dx/x^2
由于上式右侧的积分为一个有限值，所以这个级数是收敛的。
总结来说，1/n^2级数的收敛性可以通过比较测试或积分测试来证明。在比较测试中，我们将1/n^2级数与调和级数相比较，得出1/n^2级数是收敛的结论。在积分测试中，我们将1/n^2看作函数 f(x) = 1/x^2 并将其与连续函数 g(x) = 1/x^2 对比，证明它的积分为一个有限值，因此这个级数也是收敛的。