Question

已知连续函数f(x)为偶函数且 _0^5f(x)dx=5 , _5^5f(x)dx=() ()-|||-A 8-|||-B

Answer 1

问：已知连续函数f(x)为偶函数且 _0^5f(x)dx=5 , _5^5f(x)dx=() ()-|||-A 8-|||-B

答：因为 $f(x)$ 是偶函数，所以有对于任意的 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$。因此，$$\int_{-5}^5 f(x)dx=\int_{-5}^0 f(x)dx+\int_0^5 f(x)dx=2\int_0^5 f(x)dx=2\times5=10$$又因为 $\int_0^5 f(x)dx=5$，所以 $\int_{-5}^0 f(x)dx=10-5=5$。故$$\int_{-5}^5 f(x)dx=5+5=10$$又因为 $f(x)$ 是偶函数，所以$$\int_0^5 f(x)dx=\int_{-5}^0 f(x)dx=5$$所以$$\int_{5}^5 f(x)dx=\int_0^5 f(x)dx-\int_{-5}^0 f(x)dx=5-5=0$$综上可知，$$\int_{5}^5 f(x)dx=0-|||-8-|||=-8$$因此，$A=8$，$B=-8$。