Question

已知dy/dx-(y/(x+1))=x(x+1)e^x,求其通解,并求y(0)=1时的特解

Answer 1

问：已知dy/dx-(y/(x+1))=x(x+1)e^x,求其通解,并求y(0)=1时的特解

答：首先可以通过乘以积分因子来解决该常微分方程，其积分因子为exp(-ln|x+1|)，所以有：exp(-ln|x+1|)dy/dx - (y/(x+1))exp(-ln|x+1|) = x(x+1)e^x*exp(-ln|x+1|)即：d/dx((y/x+1)*exp(-ln|x+1|)) = x(x+1)*e^(2x-ln|x+1|)接下来对右侧进行积分，得到：(y/(x+1))*exp(-ln|x+1|) = 1/4*x^4 + 1/2*x^3 - 1/2*x^2 - (3/4)*x*e^x + C将y(0)=1带入通解中，解出C的值为-5/4，所以特解为：(y/(x+1))*exp(-ln|x+1|) = 1/4*x^4 + 1/2*x^3 - 1/2*x^2 - (3/4)*x*e^x - 5/4化简可得：y = (x+1)*(1/4*x^4 + 1/2*x^3 - 1/2*x^2 - (3/4)*x*e^x - 5/4)*e^(ln|x+1|)特别地，当x=0时，代入特解可得y(0)=-5/4，与题目条件不符。重新代入常数项C将C的值修正

答：重新代入常数项C将C的值修正为1/4即可得到满足条件的特解：y = (x+1)*(1/4*x^4 + 1/2*x^3 - 1/2*x^2 - (3/4)*x*e^x + 1/4)*e^(ln|x+1|)

答：亲看下可以吗？

问：可以不要分析，简化版的手写过程吗

答：对不起，没法手写

问：那不要分析，简化版的呢

答：好的

答：首先我们求该方程的齐次方程的通解：dy/dx - y/(x+1) = 0将其变形得到：dy/y = dx/(x+1)对两边同时积分，得到：ln|y| = ln|x+1| + c其中c为任意常数。移项后可得：y = k(x+1), 其中k=e^c为非零常数。因此，齐次方程的通解为 y = k(x+1)。接下来，我们需要求非齐次方程的一个特解。首先我们猜测一个特解y_p=Axe^x+Bx^2e^x+C，其中A、B和C都是待定常数。将y_p带入非齐次方程中，得到：A(x+2)e^x + (2Bx+C)/(x+1)^2 = x(x+1)e^x我们令A=1，B=-1，C=0，则原方程的一个特解为：y_p = xe^x - x^2e^x因此，原方程的通解为 y = k(x+1) + xe^x - x^2e^x，其中k为任意常数。根据初始条件 y(0)=1，代入通解中，得到：1 = k(0+1) + 0 - 0因此，k=1。所以，当y(0)=1时，原方程的特解为：y = (x+1) + xe^x - x^2e^x

答：最后，将原式中的 x(x+1)e^x 简化为 xe^x + e^x，得到：dy/dx - y/(x+1) = xe^x + e^x因此，该方程的通解是 y = k(x+1) + xe^x - x^2e^x，其中k为任意常数，特解是 y = (x+1) + xe^x - x^2e^x。