Question

求∫∫(x+y)dydz,其中，Σ为锥面z=√(x^2+y^)被平面z=1所截部分的外侧

Answer 1

问：求∫∫(x+y)dydz,其中，Σ为锥面z=√(x^2+y^)被平面z=1所截部分的外侧

答：同学，根据题目所给条件，可以得出锥面的方程为 z^2 = x^2 + y^2，而平面的方程为 z = 1。将平面方程代入锥面方程中，可得：1 = z^2 - x^2 - y^2整理后得到：x^2 + y^2 = 1 - z^2这是一个以 xy 平面为底面，顶点在原点，半径为 1 的圆柱体。因此在 xy 平面上的投影区域为单位圆，即 D = {(x,y)| x^2 + y^2 <= 1}。根据题意可以得到积分区域为锥体被平面截取的部分，因此 z 的上下限分别为 0 和根号(1-x^2-y^2)，y 的上下限分别为负根号(1-x^2) 和正根号(1-x^2)，x 的上下限分别为 -1 和 1。因此，所求积分为：∫∫(x+y)dydz = ∫[-1,1] dx ∫[-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2)] dz ∫[-sqrt(1-x^2-y^2),sqrt(1-x^2-y^2)] (x+y) dy

问：这个题答案是啥

答：代入其他变量，得到：∫∫(x+y)dydz = 2 ∫[-1,1] dx ∫[-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2)] dz ∫[0,sqrt(1-x^2-y^2)] (x+y) dy对 y 进行积分，得到：∫∫(x+y)dydz = 2 ∫[-1,1] dx ∫[-sqrt(1-x^2),sqrt(1-x^2)] dz [(x+y) * sqrt(1-x^2-z^2)]接下来需要对 z 进行积分。由于积分区域是一个有限的圆盘区域，可以采用极坐标进行转化：x = r cosθ z = r sinθ在极坐标系下，积分区域为 D' = {(r,θ)| 0 <= θ <= π/2, 0 <= r <= √(1 - cos^2θ - sin^2θ)}。代入后可得：∫∫(x+y)dydz = 2 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r cosθ dr ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r sinθ dz + 2 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r sinθ dr ∫[0,sqrt(1-cos^

答：在极坐标系下，积分区域为 D' = {(r,θ)| 0 <= θ <= π/2, 0 <= r <= √(1 - cos^2θ - sin^2θ)}。代入后可得：∫∫(x+y)dydz = 2 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r cosθ dr ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r sinθ dz + 2 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r sinθ dr ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r sinθ dz将内层积分求解，得到：∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r cosθ dr = [1/2 * r^2 * cosθ] |0 to sqrt(1-cos^2θ) = 1/2 * (1-cos^2θ) * cosθ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] r sinθ dz = [1/2 * r^2 * sinθ] |0 to sqrt(1-cos^2θ) = 1/2 * (1-cos^2θ) * sinθ代入上式可得：∫∫(x+y)dydz = ∫[0,π/2] dθ [cosθ/

答：代入上式可得：∫∫(x+y)dydz = ∫[0,π/2] dθ [cosθ/2 * ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] (1-cos^2θ) dr + sinθ/2 * ∫[0,sqrt(1-cos^2θ)] (1-cos^2θ) dz]

问：不是

问：你告诉选啥就好了

答：你好同学，这题的答案是B.π/2，这道题应该是一个典型的计算三重积分的问题，根据给出的积分区域和被积函数，可以列出积分式：∭(x+y)dydzdx其中，积分区域为锥面z=√(x^2+y^2)被平面z=1所截部分的外侧。由于积分区域比较复杂，不易直接求解，因此考虑采用柱坐标系进行转换。在柱坐标系下，积分区域可以表示为：0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ z ≤ r代入被积函数，得到：∫₀²π ∫₀¹ ∫₀ʳ (r cosθ + r sinθ)r dz dr dθ对 z 进行积分，可得：∫₀²π ∫₀¹ (1/2) r^3(cosθ + sinθ) dr dθ = π/2因此，答案为π/2。由于选择题只能选一个答案，因此正确答案应该是π/2。