已知直线AB与抛物线y²=2px(p大于0)相切,且与曲线y=-1/x相切,切点分别为 A,B ,若 | AB |²等于 18 ,则 p 等于

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咨询记录 · 回答于2023-07-14
已知直线AB与抛物线y²=2px(p大于0)相切,且与曲线y=-1/x相切,切点分别为 A,B ,若 | AB |²等于 18 ,则 p 等于
亲亲,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=kx+b,代入抛物线方程得到(kx+b)²=2px。将曲线y=-1/x代入得到b=-1/k。由直线与抛物线相切,可知方程(kx-1/k)²=2px在x=1处有唯一解。令f(x)=p(x-1)²-2(x-1/k)²,求f(x)的导数f'(x)=2p(x-1)-4(x-1/k)。根据导数的性质,当f'(1)>0时,f(x)存在唯一解。将x=1代入得到f'(1)=2p-4(1-1/k)=2p-4=-2p-4+4/k=0,解得p=2/3。所以p=2/3。
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