(计算)利用定积分的第一换元法计算_0^3(x+2)/((x+1))dx
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亲，你好
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为你找寻的答案如下：
我们可以使用定积分的第一换元法来计算该积分。
令 $u = \sqrt{x+1}$，则有 $x = u^2 - 1$， $dx = 2u du$。
当 $x = 0$ 时， $u = \sqrt{0+1} = 1$；
当 $x = 3$ 时， $u = \sqrt{3+1} = 2$。
则原积分变为：
$\int_{0}^{3} \frac{x+2}{\sqrt{x+1}} dx = \int_{1}^{2} [(u^2-1)+2]u du = \int_{1}^{2} (u^3+u) du$
$= \frac{1}{4}u^4 + \frac{1}{2}u^2 \Big|_{1}^{2} = \frac{1}{4}2^4 + \frac{1}{2}2^2 - \frac{1}{4}1^4 - \frac{1}{2}1^2$
$= \frac{8}{4} + \frac{2}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{4}$
因此，原积分的值为 $2.25$。
咨询记录 · 回答于2024-01-02
(计算)利用定积分的第一换元法计算_0^3(x+2)/((x+1))dx
亲，你好！
为您找寻的答案：
我们可以使用定积分的第一换元法来计算该积分。
令u = √(x+1)，则有x = u^2 - 1，dx = 2u du。
当x = 0 时，u = √(0+1) = 1；当x = 3 时，u = √(3+1) = 2。
则原积分变为：∫0^3 (x+2)/√(x+1) dx = ∫1^2 [(u^2-1)+2]u du = ∫1^2 (u^3+u) du = (1/4)u^4 + (1/2)u^2|1^2
= (1/4)2^4 + (1/2)2^2 - (1/4)1^4 - (1/2)1^2= 8/4 + 2/2 - 1/4 - 1/2 = 2 + 1/4
因此，原积分的值为2.25。
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为您找寻的答案：
我们可以使用定积分的第一换元法来计算该积分。
令u = √(x+1)，则有x = u^2 - 1，dx = 2u du。
当x = 0 时，u = √(0+1) = 1；当x = 3 时，u = √(3+1) = 2。
则原积分变为：∫0^3 (x+2)/√(x+1) dx = ∫1^2 [(u^2-1)+2]u du = ∫1^2 (u^3+u) du = (1/4)u^4 + (1/2)u^2|1^2
= (1/4)2^4 + (1/2)2^2 - (1/4)1^4 - (1/2)1^2= 8/4 + 2/2 - 1/4 - 1/2 = 2 + 1/4
因此，原积分的值为2.25。
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