Question

如何求逆矩阵

Answer 1

问：如何求逆矩阵

答：亲，求逆矩阵的方法是通过行列式和伴随矩阵求解的，具体步骤如下：设A是一个$n$阶方阵。1. 首先计算矩阵$A$的行列式$|A|$是否等于零，如果$|A|=0$，则矩阵$A$不存在逆矩阵。2. 计算矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$。伴随矩阵是指将矩阵$A$的每个元素$a_{i,j}$替换成其代数余子式$A_{i,j}$所得到的矩阵，即：$A^*=\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&\cdots&A_{1,n}\\A_{2,1}&A_{2,2}&\cdots&A_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{n,1}&A_{n,2}&\cdots&A_{n,n}\end{bmatrix}$其中，$A_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}$，$M_{i,j}$表示矩阵$A$在去掉第$i$行和第$j$列后的$n-1$阶子矩阵的行列式。3. 将伴随矩阵$A^*$转置得到矩阵$A^T$。4. 用行列式的值计算出矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$，即：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^T$如果$|A|=0$，则矩阵$A$不存在逆矩阵。需要注意的是，对于某些矩阵，直接使用伴随矩阵求逆矩阵比较麻烦，此时可以考虑使用高斯-约旦消元法等其他的方法来求解逆矩阵。