Question

求2xy/x²+y²的二阶偏导数

Answer 1

问：求2xy/x²+y²的二阶偏导数

答：亲亲很高兴为您解答：求2xy/x²+y²的二阶偏导数是∂²f/∂x² = 2y(-3x²+y²+2xy²)/(x²+y²)³∂²f/∂y² = 2x(3y²-x²+2x²y)/(x²+y²)³∂²f/∂x∂y = 2(x²-y²+2xy²-3x²y)/(x²+y²)³

答：设f(x,y) = 2xy/(x²+y²)则有：∂f/∂x = 2y(x²+y²-2x²)/(x²+y²)² = 2y(y²-x²)/(x²+y²)²∂²f/∂x² = 2y(-3x²+y²+2xy²)/(x²+y²)³∂f/∂y = 2x(x²+y²-2y²)/(x²+y²)² = 2x(x²-y²)/(x²+y²)²∂²f/∂y² = 2x(3y²-x²+2x²y)/(x²+y²)³∂²f/∂x∂y = 2(x²-y²+2xy²-3x²y)/(x²+y²)³因此，2xy/(x²+y²)的二阶偏导数为：∂²f/∂x² = 2y(-3x²+y²+2xy²)/(x²+y²)³∂²f/∂y² = 2x(3y²-x²+2x²y)/(x²+y²)³∂²f/∂x∂y = 2(x²-y²+2xy²-3x²y)/(x²+y²)³

答：这位同学二阶偏导数是多元函数在某一点处对同一自变量求两次偏导数得到的结果，用于描述函数的曲率和凹凸性质。在计算二阶偏导数时，需要注意以下几点：求导顺序：求二阶偏导数时，需要先对函数关于一个自变量求一阶偏导数，再对得到的一阶偏导数关于另一个自变量求一阶偏导数，最后得到的结果即为二阶偏导数。求导的顺序需要按照规定的顺序进行，否则可能会得到不同的结果。偏导数存在性：二阶偏导数的存在性需要满足一定的条件，如函数在该点处需要存在连续的一阶偏导数。如果函数在该点处一阶偏导数不存在或不连续，那么二阶偏导数也不存在。偏导数的交换性：在一些情况下，两个二阶偏导数的求导顺序可以交换，即求一阶偏导数时交换求导的顺序不影响结果。但在一些情况下，两个二阶偏导数的求导顺序不可以交换，否则得到的结果会不同。函数的连续性：二阶偏导数可以用来描述函数的曲率和凹凸性质，但要求函数在该点处存在连续性。如果函数在该点处不连续或存在间断点，那么二阶偏导数无法描述函数的凹凸性质。计算精度：在计算二阶偏导数时，需要注意计算的精度，避免因计算误差而导致结果不准确。可以采用数值方法或符号方法进行计算，以提高计算精度。总之，求解二阶偏导数需要遵循一定的规则和注意事项，以确保求导结果的正确性和精度。

问：我想知道算一阶偏导数和二阶偏导数的区别是什么啊

问：所谓偏导数是不是就先把他的原函数算错了 可为什么有的是先求导啊而不是原函数

答：偏导数不是将原函数求错了，而是在求多元函数的导数时，只对其中一个自变量求导数，而将其他自变量视为常量进行计算，而得到的导数就是偏导数。因此，偏导数与原函数是两个不同的概念。在多元函数求导的时候，有时候先求偏导数更加方便和直观。偏导数的计算可以使用与一元函数相同的求导公式，只是要将其他自变量视为常量。因此，先求偏导数也可以得到正确的结果。但在一些情况下，先求原函数再进行偏导数计算可能更加方便，这取决于具体的问题和求解方法。

答：一阶偏导数和二阶偏导数都是微积分中的概念，它们的区别在于所求导数的阶数不同，即所求导函数的导数的阶数不同。一阶偏导数是指对于一个多元函数，只对其中的一个自变量求导数，而将其他自变量视为常数。例如，对于函数f(x,y)，其对x的一阶偏导数为∂f/∂x，表示当y为常数时，f(x,y)对x的变化率。二阶偏导数则是在一阶偏导数的基础上，再对所得的一阶偏导数进行求导。也就是说，对于函数f(x,y)，其对x的二阶偏导数为∂²f/∂x²，表示当y为常数时，f(x,y)对x的变化率的变化率。其意义可以理解为函数曲面在x方向的曲率大小。因此，一阶偏导数和二阶偏导数的区别在于，一阶偏导数描述的是函数在某一方向上的变化率，而二阶偏导数则描述了函数曲面在某一方向上的曲率大小。二阶偏导数的计算需要先求出一阶偏导数，因此在进行偏导数计算时，需要注意所求导数的阶数。

问：全微分是什么啊

答：全微分是微积分中的一个概念，指的是对于一个函数 $f(x,y)$，如果它在某个点 $(x_0, y_0)$ 处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 存在且连续，那么在这个点附近，函数 $f(x,y)$ 的微小变化量可以近似地表示为下式：$$\Delta f=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)\approx \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y$$其中 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 表示 $x$ 和 $y$ 的微小变化量，$\Delta f$ 表示 $f(x,y)$ 的微小变化量。上述式子左边的 $\Delta f$ 表示函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的微小变化量，右边的式子表示在 $(x_0,y_0)$ 点处，$f(x,y)$ 在沿着 $x$ 和 $y$ 方向的微小变化量的线性组合。这就是全微分的概念。全微分的概念在微积分的很多应用中都有重要的作用，比如在微分方程、多元函数的极值、曲线积分等方面都有应用。

问：学习微积分偏导数有没有什么秘籍 比如说像乾坤大挪移一样的武林秘籍

答：认真听讲，多学习