Question

极限lim[x-x^2ln(1+1/x)] 其中x趋向于正无穷大

lim[x-x^2ln(1+1/x)]
设t=1/x
=lim[1/t-1/t^2ln(1+t)] t→0
=lim[1/t-1/t]=0 t→0
为什么不能这么做

Answer 1

lim(x→+∞) [ x - x² ln(1+ 1/x ) ]

t = 1/x ，t→0

= lim(t→0) [1/t - 1/t² ln(1+t) ]

= lim(t→0) [ t - ln(1+t) ] / t²

洛必达法则

= lim(t→0) [ 1 - 1/(1+t) ] / (2t)

= lim(t→0) 1/ [ 2(1+t) ]

= 1/2

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

你好！

等价无穷小不能随便用的
只适用于乘积，加减和指数等情况是不能用的（即使有时候结果恰好是对的）
举个例子 ( x - sinx ) / x^3 在 x→0的极限，如果用 sinx~x代入就等于0了，但显然不对

你的题目正确解法如下：
lim(x→+∞) [ x - x² ln(1+ 1/x ) ]
t = 1/x ，t→0
= lim(t→0) [1/t - 1/t² ln(1+t) ]
= lim(t→0) [ t - ln(1+t) ] / t²
洛必达法则
= lim(t→0) [ 1 - 1/(1+t) ] / (2t)
= lim(t→0) 1/ [ 2(1+t) ]
= 1/2

Answer 3

无穷大减无穷大不一定为零额

追问

1/t-1/t为0啊

追答

后面整个都是x的次方吗？