Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为 6 5 ，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知，得C（3，0），D（2，2）， ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD， ∴AD=BC．AD=2． ∴E（0，1）．（1分） 设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c（a≠0）． 将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入， 得 4a+2b+1=2 9a+3b+1=0 （2分） 解这个方程组，得 a=- 5 6 b= 13 6 故抛物线的解析式为y=- 5 6 x 2 + 13 6 x+1；（3分） （2）EF=2GO成立．（4分） ∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为 6 5 ， ∴点M的纵坐标为 12 5 ．（5分） 设DM的解析式为y=kx+b 1 （k≠0），将点D、M的坐标分别代入， 得 2k+ b 1 =2 6 5 k+ b 1 = 12 5 ， 解得 k=- 1 2 b 1 =3 ∴DM的解析式为y=- 1 2 x+3．（6分） ∴F（0，3），EF=2．（7分） 过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK． ∵∠ADK=∠FDG=90°， ∴∠FDA=∠GDK． 又∵∠FAD=∠GKD=90°， ∴△DAF≌△DKG． ∴KG=AF=1． ∵OC=3， ∴GO=1．（8分） ∴EF=2GO； （3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0）， 则设P（t，2）． ∴PG 2 =（t-1） 2 +2 2 ，PC 2 =（3-t） 2 +2 2 ，GC=2． ①PG=PC，则（t-1） 2 +2 2 =（3-t） 2 +2 2 ， 解得t=2． ∴P（2，2），此时点Q与点P重合， ∴Q（2，2）．（9分） ②若PG=GC，则（t-1） 2 +2 2 =2 2 ， 解得t=1， ∴P（1，2）， 此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1， ∴点Q的纵坐标为 7 3 ， ∴Q（1， 7 3 ）．（10分） ③若PC=GC，则（3-t） 2 +2 2 =2 2 ，解得t=3， ∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形． 过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h， ∴Q（h+1，h）． ∴ - 5 6 （h+1） 2 + 13 6 （h+1）+1=h． 解得h 1 = 7 5 ，h 2 =-2（舍去）． ∴Q（ 12 5 ， 7 5 ）．（12分） 综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1， 7 3 ）或Q（ 12 5 ， 7 5 ）．