求y=2arctanx-2x
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y'=1/(1+x^2)
=1-x^2+(x^2)^2-(x^2)^3+...+(-1)^n(x^2)^n+... （相当于等比数列求和。由于这里要求x=0处的导数，所以可以让x足够接近0，从而使这个式子的部分和的极限等于上面那个式子）
=1-x^2+x^4-x^6+...+(-1)^n*x^(2n)+...
所以y=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+...
这个就是arctanx在x=0处的泰勒展开式
可见，y^(2k)(0)=0
y^(2k+1)(0)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)
y^(2k+1)(0)=(-1)^k*(2k)!
咨询记录 · 回答于2022-06-06
求y=2arctanx-2x
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求y=2arctanx-2x的导数（最后这个x是2的x方）
y'=1/(1+x^2)=1-x^2+(x^2)^2-(x^2)^3+...+(-1)^n(x^2)^n+... （相当于等比数列求和。由于这里要求x=0处的导数，所以可以让x足够接近0，从而使这个式子的部分和的极限等于上面那个式子）=1-x^2+x^4-x^6+...+(-1)^n*x^(2n)+...所以y=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+...这个就是arctanx在x=0处的泰勒展开式可见，y^(2k)(0)=0y^(2k+1)(0)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)y^(2k+1)(0)=(-1)^k*(2k)!
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