Question

设a是线性方程组Ax=吧(不等于0)的一个解b1b2b3b4是Ax=0的一个基础解系

Answer 1

问：设a是线性方程组Ax=吧(不等于0)的一个解b1b2b3b4是Ax=0的一个基础解系

答：设 $xa + y_{1}b_{1} + y_{2}b_{2} = 0$，其中 $x, y_{1}, y_{2}$ 是任意实数。 若 $x \neq 0$，则 $a = -\frac{y_{1}b_{1} + y_{2}b_{2}}{x}$。 所以 $Aa = -A\frac{y_{1}b_{1} + y_{2}b_{2}}{x} = -\frac{y_{1}Ab_{1} + y_{2}Ab_{2}}{x} = -\frac{0 + 0}{x} = 0$。 这与 $Aa = b \neq 0$ 矛盾。 所以 $x = 0$。 所以 $y_{1}b_{1} + y_{2}b_{2} = 0$。 因为 $b_{1}, b_{2}$ 是 $Ax = 0$ 的基础解系，是线性无关的。 所以 $y_{1} = 0, y_{2} = 0$。 所以，由 $xa + y_{1}b_{1} + y_{2}b_{2} = 0$ 得系数全为零。 所以向量组 $a, b_{1}, b_{2}$ 线性无关。