Question

求由摆线x=a(t-sint) y=a(1－cost)的一拱，x=0，x=2πa，与y=2a所围

Answer 1

问：求由摆线x=a(t-sint) y=a(1－cost)的一拱，x=0，x=2πa，与y=2a所围成的图形的面积

答：您好，亲亲解答过程如下：S∫[0≤t≤2π]a(1-cost)d[a(t-sint)]＝a²∫[0,2π]｛（1-cost）²｝dt＝a²[t+t/2+（sin2t）/4+2sint]|[0,2π]值差＝3a²π（面积单位）扩展资料三角函数之间的变换关系(cost)^2+(sint)^2=1cos2t=2(cost)^2-1=1-2(sint)^2，sin2t=2sintcost定积分∫(a,b)f(x)dx的性质（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。（2）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。（3）∫(a,b)(f(x)+g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(a,b)g(x)dx。cos2t=2(cost)^2-1=1-2(sint)^2，sin2t=2sintcost

答：解决求曲边图形的面积问题通过图形边界求出x，y的区间，然后在区间中以x或者y为积分变量，进行面积的计算。

问：这是原题，麻烦看看

答：您好，亲亲S=∫|y|dx=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）又∵x=a(t-sint)∴dx=a(1-cost)dtS=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)=3πa²