Question

9求在平面x+y+z=1内,过直线 x/2=y+1=-z 与此平面的交点,且垂直于此直线的直线

Answer 1

问：9求在平面x+y+z=1内,过直线 x/2=y+1=-z 与此平面的交点,且垂直于此直线的直线

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦过直线$x/2=y+1=-z$与平面$x+y+z=1$的交点可以通过将直线方程代入平面方程得到。首先，将$x/2=y+1=-z$转化为参数方程形式：$$x=2t,y=-1-t,z=-t$$将参数方程代入平面方程得到：$$2t+(-1-t)+(-t)=1$$解得$t=\frac{2}{3}$，代入参数方程得到交点为$(\frac{4}{3},-\frac{5}{3},-\frac{2}{3})$。垂直于直线$x/2=y+1=-z$的直线可以通过求出该直线在平面$x+y+z=1$上的法向量来得到。由于该直线方向向量为$(2, -1, -1)$，平面$x+y+z=1$的法向量为$(1, 1, 1)$，所以所求直线的方向向量应为这两个向量的叉积：$$(2, -1, -1) \times (1, 1, 1) = (-2, -3, 3)$$因此，所求直线的方向向量为$(-2, -3, 3)$，通过将交点和方向向量代入参数方程可以得到所求直线的方程：$$x=\frac{4}{3}-2t, y=-\frac{5}{3}-3t, z=-\frac{2}{3}+3t$$其中$t$为参数。