Question

一篮鸡蛋5个5个地数还剩1个6个6个的数,7个7个的数都正好数完,这篮鸡蛋至少有多少？

Answer 1

问：一篮鸡蛋5个5个地数还剩1个6个6个的数,7个7个的数都正好数完,这篮鸡蛋至少有多少？

答：假设篮子里的鸡蛋数为x，根据题意，可以列出如下方程：x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 6 (mod 6)x ≡ 0 (mod 7)对于第一个方程，可以列出x = 5a + 1，其中a为整数。对于第二个方程，可以列出x = 6b + 6 = 2(3b + 3)，其中b为整数。对于第三个方程，可以列出x = 7c，其中c为整数。将这些式子代入第一个方程，得到5a + 1 ≡ 2(3b + 3) ≡ 0 (mod 7)。因为5和7是互质的，所以可以将5乘以某个数，使得5和7的积模7余1。可以发现5×3≡1 (mod 7)，因此：5a + 1 ≡ 2(3b + 3) ≡ 0 (mod 7)15a + 3 ≡ 6b + 6 ≡ 0 (mod 7)a + 2 ≡ 0 (mod 7)因此a = 7d - 2，其中d为整数。代入x = 5a + 1，得到：x = 5(7d - 2) + 1 = 35d - 9因此篮子里至少有35个鸡蛋。

问：可以简单一点吗

答：不能再简单了，因为这是一个三元一次同余方程组，需要使用中国剩余定理进行求解。上述方法就是应用了中国剩余定理的推导过程。

问：不好意思刚才题目说错了，一篮子鸡蛋5个5个数少一个，6个6个的数，7个7个的数都正好数完，这篮鸡蛋至少有多少？

答：这个问题可以使用中国剩余定理来解决。设篮子中鸡蛋的数量为 x，则有以下三个方程：x ≡ 4 (mod 5)x ≡ 0 (mod 6)x ≡ 0 (mod 7)其中第一个方程表示 5 的倍数中除以 5 余数为 4，即 4，9，14，19，……。根据中国剩余定理，上述三个方程有一个解：x ≡ 84 (mod 210)因为 x 至少为 84，所以这篮鸡蛋至少有 84 个。

答：正确答案：18.至少有301个鸡蛋。（解法：根据题意可列方程：n=5a+4=n-1；n=6b=n；n=7c+1，代入n的最小公倍数L=C（最小公倍数的定义），得 L=5×6×7=210，再列方程L=k×n，解得n=301。）19.3米。（解法：两根长绳长度的最小公倍数为120，因此每根绳子要截成的小段长度为120/15=8和120/24=5，选择最小的8作为小段长度即可，此时每根绳子截成的小段数均为15。）20.5个正方形。（解法：长方形硬纸板的面积为42×35=1470平方厘米。剪成的每个正方形的面积为x²，可以剪出的正方形个数为n=1470/x²。要使得剪出的正方形边长最大，应该把长方形剪成最接近正方形的形状，即剪成7×7的正方形和7×21的矩形，剩下一个3×21的矩形。因此剪出的最大正方形边长为7厘米，可以剪出5个这样的正方形。）