Question

梯度，等值线和方向导数之间的关系

Answer 1

问：梯度，等值线和方向导数之间的关系

答：梯度表示函数在某一点的变化率最大的方向和大小，是一个向量。 在某一点取梯度可以得到该点的方向导数。 等值线是指函数值相等的点所组成的曲线或曲面。 在某一点上，等值线的切线方向与该点的梯度方向垂直。 方向导数表示函数在某一点沿着某一方向的变化率，可以表示为梯度向量和该方向向量的点积。 当方向向量与梯度向量同向时，该点的方向导数最大； 当方向向量与梯度向量垂直时，该点的方向导数为0； 当方向向量与梯度向量反向时，该点的方向导数最小。 因此，梯度、等值线和方向导数三者之间存在密切的关系，可以相互补充、解释和应用。

问：这个图能看清嘛

答：亲亲，图片过于模糊 ，请您以文字形式完整描述您需要咨询的问题哦

问：就是现在有一个关于f(x, y)的函数，告诉你法线，切线，梯度，切平面，等高线如何求，现在问:给一点A(1,1),编写命题并求解

答：### 命题： 设函数 $f(x,y)$ 在点 $A(1,1)$ 处可导，则在点 $A$ 处： 1. 法线的方程为： $x + y = 2$ 2. 切线的方程为： $z = f(1,1) + (x-1) \times (\frac{\partial f}{\partial x} ) (1,1) + (y-1) \times (\frac{\partial f}{\partial y} ) (1,1)$ 3. 梯度为： $(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} ) (1,1)$ 4. 切平面的方程为： $z = f(1,1) + (x-1) \times (\frac{\partial f}{\partial x} ) (1,1) + (y-1) \times (\frac{\partial f}{\partial y} ) (1,1)$ 5. 等高线方程为： $f(x,y) - f(1,1) = (\frac{\partial f}{\partial x} ) (1,1) \times (x-1) + (\frac{\partial f}{\partial y} ) (1,1) \times (y-1)$ **求解：** 根据定义，求梯度需要先求偏导数，偏导数求出来之后再带入点 $A(1,1)$ 即可。同理，切线、切平面和等高线方程也是需要用偏导数和函数值来表示的。由于题目中没有给出函数的具体形式，所以无法求解具体的数值结果。