Question

f(x+2)=f(-x+2)的周期

Answer 1

问：f(x+2)=f(-x+2)的周期

答：亲，根据您的问题：根据周期函数的定义，对于任意实数k，若有f(x+k) = f(x)，则称f(x)具有周期k。将x+2代入f(x)中得到f(x+2+2)=f(x+4)，同时将-x+2代入f(x)中得到f(-x+2+2)=f(-x+4)，显然当f(x)是周期函数时，f(x+4)与f(-x+4)应当相等。因此，上述原方程的周期为4。

问：f(x+1)+f(-x+1)=0代表什么啊

答：函数f(x+1)与f(-x+1)的和为0，表示该函数在x和-x+2两个整数点处取值互为相反数。换句话说，这个函数在以1为周期的区间内，关于x=1/2对称。具体而言，设t为任意整数，则有：f(t+1) + f(-(t+1)+1) = 0，可以推出：f(t+1) + f(-t) = 0也就是说，在x为整数时，f(x)与f(1-x)的值互为相反数。需要注意的是，仅凭这一个条件无法确定该函数的具体形式，因此需要更多的信息才能确定该函数。

问：非常数函数fx及其导数的定义域为R 若f(1-2x)为奇函数 怎么求周期 f(2x-1)为偶函数 f(2x-1)的导数又为什么等于f(2x+7)的导数

答：我们先根据已知条件来推导一下f(x)的性质。将x=0代入f(1-2x)，得到f(1)=f(1-2*0)，由于f(1-2x)为奇函数，因此有f(1-2x)=-f(2x-1)，带入可得f(1)=-f(1)，即f(1)=0。再将x=1代入f(2x-1)，得到f(1)=f(2*1-1)=f(1)，由于f(2x-1)为偶函数，因此有f(2x-1)=f(-2x+1)，带入可得f(2x-1)=f(2-2x)，即f(x)为以2为周期的函数。由于f(x)非常数，因此存在某个a（0 < a < 2），使得f(a) ≠ f(0)。又因为f(x)以2为周期，因此有f(a+2) = f(a) ≠ f(0) = f(a-2)，即a+2不是2的倍数。结合a < 2可知，a只能等于1。因此，f(x)以2为周期，且f(1) ≠ f(0)，故f(x)的周期为2。接下来来看题目中的问题：求f(x)的周期：已经在上面推出f(x)的周期为2。求f(2x-1)的导数为什么等于f(2x+7)的导数：首先求出f(2x-1)的导数，设y = 2x-1，则有：f'(2x-1) = f'(y) = lim_(Δy→0) [f(y+Δy) - f(y)]/Δy将y用2x+7代入可得：f'(2x+7) = f'(y+8) = lim_(Δy→0) [f(y+8+Δy)-f(y+8)]/Δy注意到f(x)是以2为周期的函数，因此有：f(y+8) = f(y+2+2+2+2) = f(y+2)因此，有f'(2x-1) = f'(2x+7)。