Question

3.设f(x)是一个连续函数且f(t)dt=xe^2x，求fX

Answer 1

问：3.设f(x)是一个连续函数且f(t)dt=xe^2x，求fX

答：首先，根据题目中的等式f(t)dt = x * e^(2x)，我们可以使用积分来求解f(x)。对等式两边进行不定积分，得到：∫f(t)dt = ∫(x * e^(2x))dx 对左边进行积分，得到：F(t) + C1 = ∫(x * e^(2x))dx 其中，F(t)是f(t)的原函数，C1是积分常数。 现在我们需要求解右边的积分。我们可以使用分部积分法来计算它。令u = x，dv = e^(2x)dx，我们可以求得du = dx，v = (1/2) * e^(2x)。将分部积分的结果代入，得到：F(t) + C1 = (1/2) * x * e^(2x) - (1/2) * ∫e^(2x)dx 对最后一项进行积分，得到：F(t) + C1 = (1/2) * x * e^(2x) - (1/4) * e^(2x) + C2其中，C2是新的积分常数。 将等式两边合并，得到：F(t) + C1 = (1/2) * x * e^(2x) - (1/4) * e^(2x) + C2

答：F(t) = (1/2) * x * e^(2x) - (1/4) * e^(2x) + C2 - C1 由于我们需要求解的是f(x)，而不是f(t)，我们可以将t替换为x，得到： f(x) = (1/2) * x * e^(2x) - (1/4) * e^(2x) + C2 - C1 因此，f(x) = (1/2) * x * e^(2x) - (1/4) * e^(2x) + C，其中C = C2 - C1是一个新的常数。 综上所述，f(x) = (1/2) * x * e^(2x) - (1/4) * e^(2x) + C，其中C为常数。