Question

x²*dy/dx=x²y²+xy+1怎么计算

Answer 1

问：x²*dy/dx=x²y²+xy+1怎么计算

答：您好同学，很高兴为您解答。这是一个一阶非齐次非线性微分方程，可以通过分离变量的方法解决。将方程改写为：dy/y^2 = (x2+1)/x2 dx + 1/(x2*y2) dx左边一项可以利用分部积分的方法计算出来：∫dy/y^2 = -1/y + C1右边一项可以将其拆开成两部分分别进行积分：∫(x2+1)/x2 dx = x + ln(x)∫1/(x2*y2) dx = -1/(xy) + C2其中C1和C2是积分常数。将右边两项代入原方程，得到：-1/y + C1 = x + ln(x) - 1/(xy) + C2将原方程所给的初始条件代入，求解出C1和C2。最后得到解析式为：y(x) = (C - 1/(x+x*ln(x)))^(-1/2)其中C为常数。

答：以下是针对一阶非齐次非线性微分方程的解法的更详细的步骤：首先，将方程写成以下标准形式：dy/dx = (x2y2 + xy + 1) / x^2接下来，将方程的右边分离出来分别为分子和分母的积分：dy / (y^2) = (x^2 + 1) / (x^2 y^2) dx + 1 / (x^2 y^2) dx然后对这些积分进行求解。左边的积分可以进行分部积分：∫ dy / (y^2) = -1 / y + C1在右侧的第一项中，可以将分母变为两个分式之和，并将每个分式的分子部分用长除法进行分离：(x^2 + 1) / (x^2 y^2) = 1 / (y^2) + x^2 / (x^2 y^2)然后对每个分式进行积分：∫ 1 / (y^2) dx = -1 / y + C1∫ x^2 / (x^2 y^2) dx = -1 / (y x) + C2结合这些积分和原方程的左边，可以得到以下解析式：-1 / y + C1 = -1 / (y x) + C2 + x + ln(x)最后根据方程的初始条件，可以解出常数C1和C2，从而得到y(x)的解析式。