∫（arctanx）2/1+x平方 dx
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∫（arctanx）2/1+x平方 dx：令 u = (\arctan x)^2$，$dv = \frac{dx}{(x^2+1)^2}$，则有：du = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx, \quad v = -\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{1+x^2}根据分部积分公式，有：\begin{aligned}\int (\arctan x)^2 \cdot \frac{1}{(x^2+1)^2} dx &= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \int \left(\frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right) \cdot \frac{2\arctan x}{1+x^2} dx\\&= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx\end{aligned}第二个积分可以通过换元法（取 $u = \arctan x$）和分式分解可得到：\frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int u du = \frac{1}{4}(\arctan x)^2 + C_1其中 C_1 为常数。第三个积分可以通过局部换元法（令 u = 1+x^2）和分式分解可得到：\begin{aligned}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx &= -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2} \\&= \frac{1}{4}\cdot\frac{-1}{u} + C_2\\&= -\frac{1}{4(1+x^2)} + C_\end{aligned}其中 C_2 为常数。综上所述，原积分为：\int (\arctan x)^2 \cd。
∫（arctanx）2/1+x平方 dx：令 u = (\arctan x)^2$，$dv = \frac{dx}{(x^2+1)^2}$，则有：du = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx, \quad v = -\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{1+x^2}根据分部积分公式，有：\begin{aligned}\int (\arctan x)^2 \cdot \frac{1}{(x^2+1)^2} dx &= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \int \left(\frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right) \cdot \frac{2\arctan x}{1+x^2} dx\\&= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx\end{aligned}第二个积分可以通过换元法（取 $u = \arctan x$）和分式分解可得到：\frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int u du = \frac{1}{4}(\arctan x)^2 + C_1其中 C_1 为常数。第三个积分可以通过局部换元法（令 u = 1+x^2）和分式分解可得到：\begin{aligned}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx &= -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2} \\&= \frac{1}{4}\cdot\frac{-1}{u} + C_2\\&= -\frac{1}{4(1+x^2)} + C_\end{aligned}其中 C_2 为常数。综上所述，原积分为：\int (\arctan x)^2 \cd。
咨询记录 · 回答于2023-04-27
∫（arctanx）2/1+x平方 dx
您好，很高兴为您解答∫（arctanx）2/1+x平方 dx：令 u = (\arctan x)^2$，$dv = \frac{dx}{(x^2+1)^2}$，则有：du = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx, \quad v = -\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{1+x^2}根据分部积分公式，有：\begin{aligned}\int (\arctan x)^2 \cdot \frac{1}{(x^2+1)^2} dx &= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \int \left(\frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right) \cdot \frac{2\arctan x}{1+x^2} dx\\&= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx\end{aligned}第二个积分可以通过换元法（取 $u = \arctan x$）和分式分解可得到：\frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int u du = \frac{1}{4}(\arctan x)^2 + C_1其中 C_1 为常数。第三个积分可以通过局部换元法（令 u = 1+x^2）和分式分解可得到：\begin{aligned}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx &= -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2} \\&= \frac{1}{4}\cdot\frac{-1}{u} + C_2\\&= -\frac{1}{4(1+x^2)} + C_\end{aligned}其中 C_2 为常数。综上所述，原积分为：\int (\arctan x)^2 \cd。
∫（arctanx）2/1+x平方 dx：令 u = (\arctan x)^2$，$dv = \frac{dx}{(x^2+1)^2}$，则有：du = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx, \quad v = -\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{1+x^2}根据分部积分公式，有：\begin{aligned}\int (\arctan x)^2 \cdot \frac{1}{(x^2+1)^2} dx &= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \int \left(\frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right) \cdot \frac{2\arctan x}{1+x^2} dx\\&= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx\end{aligned}第二个积分可以通过换元法（取 $u = \arctan x$）和分式分解可得到：\frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int u du = \frac{1}{4}(\arctan x)^2 + C_1其中 C_1 为常数。第三个积分可以通过局部换元法（令 u = 1+x^2）和分式分解可得到：\begin{aligned}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx &= -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2} \\&= \frac{1}{4}\cdot\frac{-1}{u} + C_2\\&= -\frac{1}{4(1+x^2)} + C_\end{aligned}其中 C_2 为常数。综上所述，原积分为：\int (\arctan x)^2 \cd。
亲亲
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亲亲~∫（arctanx）2/1+x平方 dx：令 u = (\arctan x)^2$，$dv = \frac{dx}{(x^2+1)^2}$，则有：du = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx, \quad v = -\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{1+x^2}根据分部积分公式，有：\begin{aligned}\int (\arctan x)^2 \cdot \frac{1}{(x^2+1)^2} dx &= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \int \left(\frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right) \cdot \frac{2\arctan x}{1+x^2} dx\\&= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx\end{aligned}第二个积分可以通过换元法（取 $u = \arctan x$）和分式分解可得到：\frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int u du = \frac{1}{4}(\arctan x)^2 + C_1其中 C_1 为常数。第三个积分可以通过局部换元法（令 u = 1+x^2）和分式分解可得到：\begin{aligned}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx &= -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2} \\&= \frac{1}{4}\cdot\frac{-1}{u} + C_2\\&= -\frac{1}{4(1+x^2)} + C_\end{aligned}其中 C_2 为常数。综上所述，原积分为：\int (\arctan x)^2 \cd。
~∫（arctanx）2/1+x平方 dx：令 u = (\arctan x)^2$，$dv = \frac{dx}{(x^2+1)^2}$，则有：du = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx, \quad v = -\frac{1}{2}\arctan x + \frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{1+x^2}根据分部积分公式，有：\begin{aligned}\int (\arctan x)^2 \cdot \frac{1}{(x^2+1)^2} dx &= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \int \left(\frac{1}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{1+x^2}\right) \cdot \frac{2\arctan x}{1+x^2} dx\\&= -\frac{1}{2}\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx\end{aligned}第二个积分可以通过换元法（取 $u = \arctan x$）和分式分解可得到：\frac{1}{2}\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int u du = \frac{1}{4}(\arctan x)^2 + C_1其中 C_1 为常数。第三个积分可以通过局部换元法（令 u = 1+x^2）和分式分解可得到：\begin{aligned}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx &= -\frac{1}{2}\int \frac{du}{2u^2} \\&= \frac{1}{4}\cdot\frac{-1}{u} + C_2\\&= -\frac{1}{4(1+x^2)} + C_\end{aligned}其中 C_2 为常数。综上所述，原积分为：\int (\arctan x)^2 \cd。
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