Question

积分ln^2（√x）/（√x）dx

Answer 1

问：积分ln^2（√x）/（√x）dx

答：u = \ln(\sqrt{x})$， 则 $x = e^{2u}$， $\frac{dx}{dy} = 2e^{2u}$。 将其代入原式得：$\int\frac{\ln^{2}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = \int\frac{u^{2}e^{u}}{2}du$ 然后采用分步积分法，令 $f(u) = u^{2}$ 和 $g^{\prime}(u) = e^{u}$， 则 $f^{\prime}(u) = 2u$ 和 $g(u) = e^{u}$， 得：$\int\frac{u^{2}e^{u}}{2}du = \frac{f(u)g(u)}{2} - \int\frac{f^{\prime}(u)g(u)}{2}du$ $= \frac{u^{2}e^{u}}{2} - \int\frac{2ue^{u}}{2}du$ $= \frac{u^{2}e^{u}}{2} - \frac{ue^{u}}{2} + \frac{e^{u}}{4} + C$

答：将 u = ln(√x) 和 x = e^(2u) 代入上式，得到：∫ln^2(√x)/√x dx = [(ln(√x))^2 - ln(√x) + 1/4] e^(ln(√x)) + C = [(ln(√x))^2 - ln(√x) + 1/4] x^(1/2) + C

答：积分 ln^2(√x)/√x dx 的结果为 [(ln(√x))^2 - ln(√x) + 1/4] x^(1/2) + C。

问：答案写的有点乱

问：能整理下吗

答：好的

答：设 u = ln(√x)，则 x = e^(2u)，dx/dy = 2e^(2u)。将其代入原式得：∫ln^2(√x)/√x dx = ∫u^2 e^u du / 2

答：令 f(u) = u^2 和 g'(u) = e^u，则 f'(u) = 2u 和 g(u) = e^u，得：∫u^2 e^u du / 2 = f(u)g(u) / 2 - ∫f'(u)g(u) du / 2 = u^2 e^u / 2 - ∫2ue^u/2 du / 2 = u^2 e^u / 2 - u e^u / 2 + e^u / 4 + C

答：将 u = ln(√x) 和 x = e^(2u) 代入上式，得到：∫ln^2(√x)/√x dx = [(ln(√x))^2 - ln(√x) + 1/4] e^(ln(√x)) + C = [(ln(√x))^2 - ln(√x) + 1/4] x^(1/2) + C

答：积分 ln^2(√x)/√x dx 的结果为 [(ln(√x))^2 - ln(√x) + 1/4] x^(1/2) + C