Question

2、设A为可逆矩阵，且A^-1BA=6A+BA，（1）证明：B为可逆矩阵；

Answer 1

问：2、设A为可逆矩阵，且A^-1BA=6A+BA，（1）证明：B为可逆矩阵；

答：亲，很高兴为您解答！2、设A为可逆矩阵，且A^-1BA=6A+BA，（1）证明：B为可逆矩阵 详细解答： 首先，将等式A^-1BA=6A+BA两边同时左乘A得到：BA=6AA+BA=7BA，然后再两边同时左乘A^-1得到：A^-1BA=A^-1(7BA)=(7A^-1)BA 故原方程化为：(7A^-1)BA=6A+BA移项可得：((7A^-1)-1)BA=6A左边的((7A^-1)-1)BA可改写成B((7A^-1)-1)A，故：B((7A^-1)-1)A=6A将上式两边同时右乘A^-1可得：B((7A^-1)-1)=6A^-1而((7A^-1)-1)是可逆矩阵，其逆矩阵为7A^-1，故上式化为：B=6(7A^-1)A^-1由此可见，B的逆矩阵为6(7A^-1)A^-1，因此B可逆。

答：# 1. 要证明矩阵B为可逆矩阵。 这需要根据矩阵A和B以及它们的运算关系得出B的逆矩阵，从而证明B是可逆矩阵。 # 2. 查找已知信息： - 矩阵A为可逆矩阵，且已知A的逆矩阵A^(-1)； - 矩阵A、B和它们的运算关系A^(-1)BA=6A+BA。 # 3. 证明思路： 将运算关系A^(-1)BA=6A+BA两边同时左乘A^(-1)，得：BA=6I+A^(-1)BA (I为单位矩阵) 将上式BA移到左侧，得：BA-6I-A^(-1)BA=0 因为BA中未知数只有B，故有：B(A-6I-A^(-1))=0 由于矩阵(A-6I-A^(-1))与零矩阵相关， B必为其逆矩阵； 所以，B为可逆矩阵。