Question

2.求圆柱体x2+y22Rx包含在抛物面x2+y2=2Rz和xOy)平面之间那部分立体的体积o

Answer 1

问：2.求圆柱体x2+y22Rx包含在抛物面x2+y2=2Rz和xOy)平面之间那部分立体的体积o

答：抛物面$x^2 + y^2 = 2Rz$可以用极坐标表示为$r^2 = 2Rz$，其中$r = \sqrt{x^2+y^2}$，$z=\frac{r^2}{2R}$。 圆柱体的条件是$x^2+y^2\leq R^2$，因此可以将圆柱体表示为$r\leq R$，$z$的范围为$0\leq z \leq H$，其中$H$是圆柱体的高度。 现在我们需要找到抛物面和$xOy$平面之间圆柱体所覆盖的部分。可以将立体分成若干个薄片，每个薄片的厚度为$dz$，面积为$2\pi r dr$。 其中$r$可以通过抛物面方程求解：$r = \sqrt{2Rz}$，因此面积可表示为$2\pi\sqrt{2Rz}\cdot dz$。 圆柱体覆盖抛物面和$xOy$平面之间的部分，意味着$0\leq z \leq \frac{R^2}{2R}= \frac{R}{2}$。 因此，圆柱体覆盖的立体体积可以用以下积分求得： $$V = \int_{0}^{\frac{R}{2}}2\pi\sqrt{2Rz}dz\int_{0}^{R}dr=\frac{\pi}{2}\left(\frac{2}{3}\sqrt{2}R^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}\pi R^{\frac{3}{2}}$$ 因此，圆柱体$x^2+y^2\leq R^2$在抛物面$x^2+y^2=2Rz$和$xOy$平面之间的部分的体积为$\frac{\sqrt{2}}{3}\pi R^{\frac{3}{2}}$。

问：我这边看到的回答是乱码

答：在解答该问题之前，我们可以先画出抛物面和圆柱体的图形：  其中，蓝色圆柱体的底面半径为 $R$，高度为 $h$，所以圆柱的体积为 $V_c = \pi R^2 h$。由于圆柱体包含在抛物面和 $xOy$ 平面之间，所以我们只需要计算这两个表面之间的部分的体积，即： $$V_o = \iiint\limits_{x^2+y^2 \leq 2Rz, z \geq 0} dxdydz - V_c$$ 为了方便计算，我们可以把三重积分转换为柱坐标系下的三重积分，即： $$V_o = \int_0^{2\pi} \int_0^{R} \int_0^{2Rr\sin\theta} r dz dr d\theta - V_c$$ 其中，$r$ 是圆锥柱的半径，$z$ 是圆锥柱的高度，在极坐标系下有： $$\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ z = \frac{r^2}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} r^2 = x^2+y^2 \\ z = \frac{r^2}{2} \end{cases}$$ 我们需要把 $z$ 的范围从 $0$ 到 $\frac{r^2}{2}$ 转换为 $r$ 的范围从 $0$ 到 $2Rr\sin\theta$，这里需要注意到 $\sin\theta$ 的符号问题，因为 $\theta$ 的范围是 $[0,\pi]$，所以需要分两段来计算积分。具体来说，当 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时，有： $$V_o = \int_0^{2\pi} \int_0^{R} \int_0^{2Rr\sin\theta} r dz dr d\theta - V_c = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{R} \int_0^{2Rr\sin\theta} r dz dr d\theta - V_c$$ 当 $\theta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ 时，有： $$V_o = \int_0^{2\pi} \int_0^{R"