Question

若x+y+z=0,求证:(x^2+y^2+z^2)/2*(x^3+y^3+z^3)/3=(x^5+y^5+z^5)/5

答案已给出，红色部分看不太懂，解释一下，最好全部分析一下。实在不行也可以换个方法
题目打错了，真正的题目在图片中

Answer 1

所有的公式及其变形都在利用x+y+z=0!

原题的证明中，所设置的 n 与下标 n 混淆，所以本人的设置将原来的 m、n 改为u、v

这可能又是那个又惊又累的解答

递推公式的证明有多种，万变不离其宗，

递推公式是本题的要点，重点，得分点，

当然，题目随着出题者而异。此问题不清楚，

1。如果是题目给出了这个递推公式，那就是考应用，不需要证明，考的是应用能力，但是题目没有明示，

2。如果是题目没有给出这个递推公式，应用者必须证明，但是原来题目解答是根据递推公式等等（且不说其中的次序颠倒等等），根本没有予以证明，当然也可以背公式，那只能得到充其量一半的分，那就失去了题目本身的意义，还有这个递推公式的证明，对于初中学生来讲太难了，高中生还可以想象数学归纳法，这个不是在两小时内的时间内好完成的，本人是 67 高中，七七级就算大学吧，可以说没学大学数学系，基本就是困难重重，当然不包括天才，但是是75年啊，75年的初中生能有多大能耐？

所以本人对问题的人能源，实成疑问！！！

追问

递推公式的证明步骤貌似有一些省略，从“Sn+uSn-2=…………”就开始看不懂了，算不出来
能否把递推公式的证明部分重新详细发一遍，谢谢

追答

这个步骤当时是为了考虑文件大小而适当省略，当然可以重新去搞一下，但是你是搞数学竞赛的呀，只要仔细琢磨一下就出来了，等一天我去找出来，
充分利用x+y+z=0，变换一下，x=-y-z，等等，还有，x^p=x^q*x^(p-q)
上面这些应该可以解决你的疑难
你还没回答我呢，是不是"精锐"？？？

追问

OK，我先想一下，再看你的详细过程对不对，谢谢

追答

上面那个计算过程，不说也不可能千挑万选，也有十挑三选，这个计算方案经过了若干次的实践，才得出最终的能解决问题的简洁的方案，

追问

我还是算不出来

追答

别急，要有耐心，毕竟是数学竞赛，而且知识超常，下面是对你看不懂的部分重新做的，

对不起了.

追问

没事。
我终于看懂了，太谢谢你了

Answer 2

简单地说，用x+y+z,xy+yz+zx,xyz表示x,y,z的对称式，由低次到高次进行。

Answer 3

你先把Sn、Sn-2、Sn-3、m、n全部用x、y、z表示，然后带入红色方程，应该会发现红色方程恒成立，然后把红色方程当做定理一样的东西，在下面的步骤里使用……至于出题人怎么列出的红色方程，我也不知道

Answer 4

∵x＋y＋z＝0，∴（x＋y＋z）^2＝0，∴x^2＋y^2＋z^2＋2（xy＋yz＋xz）＝0，
∴（x^2＋y^2＋z^2）/2＝－（xy＋yz＋xz）。······①
∵x^3＋y^3＋z^3－3xyz＝（x＋y＋z）（x^2＋y^2＋z^2－xy－yz－xz）＝0，
∴（x^3＋y^3＋z^3）/3＝xyz。······②
显然有：（x＋y＋z）（x^4＋y^4＋z^4）＝0，
∴x^5＋xy^4＋xz^4＋yx^4＋y^5＋yz^4＋zx^4＋zy^4＋z^5＝0，
∴x^5＋y^5＋z^5＝－xy（x^3＋y^3）－yz（y^3＋z^3）－xz（x^3＋z^3）。······③
－－－－－
由②，得：x^3＋y^3＝3xyz－z^3、y^3＋z^3＝3xyz－x^3、x^3＋z^3＝3xyz－y^3，
代入到③中，得：
x^5＋y^5＋z^5＝－xy（3xyz－z^3）－yz（3xyz－x^3）－xz（3xyz－y^3），
∴x^5＋y^5＋z^5＝－xyz（3xy－z^2＋3yz－x^2＋3xz－y^2），
∴x^5＋y^5＋z^5＝－xyz［3xy＋3yz＋3xz－2（x^2＋y^2＋z^2）/2］，结合①，得：
x^5＋y^5＋z^5＝－xyz［3xy＋3yz＋3xz＋2（xy＋yz＋xz）］，
∴（x^5＋y^5＋z^5）/5＝－xyz（xy＋yz＋xz）。······④
由①、②、④，得：
［（x^2＋y^2＋z^2）/2］［（x^3＋y^3＋z^3）/3］＝（x^5＋y^5＋z^5）/5。

追问

题目打错了，真正的题目在图片中。再帮个忙算一下吧

追答

关于图片中问题的证明，图片给出的递推式没有现成的公式，谁会想得到？以下给出具有一般性意义的证明过程：
［证明］
∵（x^2＋y^2＋z^2）/2＝－（xy＋yz＋xz），
∴（x^2＋y^2＋z^2）^2＝4（xy＋yz＋xz）^2，
∴x^4＋y^4＋z^4＋2［（xy）^2＋（yz）^2＋（xz）^2］
＝4［（xy）^2＋（yz）^2＋（xz）^2＋2xyz（x＋y＋z）］
＝4［（xy）^2＋（yz）^2＋（xz）^2］，
∴x^4＋y^4＋z^4
＝2［（xy）^2＋（yz）^2＋（xz）^2］
＝2［（xy）^2＋（yz）^2＋（xz）^2＋2xyz（x＋y＋z）］
＝2（xy＋yz＋xz）^2。
－－－－－
显然有：（x＋y＋z）（x^6＋y^6＋z^6）＝0，
∴x^7＋xy^6＋xz^6＋y^7＋yx^6＋yz^6＋z^7＋zx^6＋zy^6＝0，
∴x^7＋y^7＋z^7
＝－xy（x^5＋y^5）－yz（y^5＋z^5）－xz（x^5＋z^5）
＝－（x^5＋y^5＋z^5）（xy＋yz＋xz）＋xyz（x^4＋y^4＋z^4）。
又x^5＋y^5＋z^5＝－5xyz（xy＋yz＋xz）、x^4＋y^4＋z^4＝2（xy＋yz＋xz）^2，
∴x^7＋y^7＋z^7＝5xyz（xy＋yz＋xz）^2＋2xyz（xy＋yz＋xz）^2,
∴（x^7＋y^7＋z^7）/7＝xyz（xy＋yz＋xz）^2。
∴［（x^2＋y^2＋z^2）/2］［（x^5＋y^5＋z^5）/5］
＝－（xy＋yz＋xz）·［－xyz（xy＋yz＋xz）］
＝xyz（xy＋yz＋xz）^2，
于是：［（x^2＋y^2＋z^2）/2］［（x^5＋y^5＋z^5）/5］＝（x^7＋y^7＋z^7）/7。