Question

高等数学求极限，求limΣ（1/(n+(i^2+1)/n)）(是i=1到n,n趋近无穷大)

Answer 1

问：高等数学求极限，求limΣ（1/(n+(i^2+1)/n)）(是i=1到n,n趋近无穷大)

答：1. 首先，我们需要从 i+1 化简到 i，这应该从 2 开始，而不是从 1 开始。因此，我们需要减去第一项。 2. 在求和的结尾部分，我们需要从后式到 n，前式到 n+1。因此，我们需要加一项。 3. Σ 1/(n+(i^2)/n) 比 Σ 1/[n+(i+1)^2/n] 少一项 1/[n+(n+1)^2/n]，多一项 1/(n+1/n)。 4. 由于 1+i^2/n^2 <= 1+(i^2+1)/n^2 <= 1+(i+1)^2/n^2，以下表达式对 i 从 1 到 n 求和： Σ (1/(n+(i+1)^2/n^2)) * 1/n (n+(i^2+1)/n)) = Σ (1/(1+(i^2+1)/n^2)) * 1/n (1+(i^2)/n^2) * 1/n 5. N 的相应性：一般来说，N 随着 ε 的变小而变大。因此，通常将 N 表示为 N(ε)，以强调 N 对 ε 的变化而变化的依赖性。但这并不意味着 N 是由 ε 唯一确定的。例如，如果 n > N 使 |xn-a| ε，那么 n > N+1、n > 2N 等也使 |xn-a| < ε 成立。重要的是 N 的存在性，而不在于其值的大小。