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22.已知函数 f(x)=2lnx+a/(x^2)若f(x)≥a在区间(0,1]上横成立,求a的取值范围。
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首先,对于定义域在 $(0,1]$ 的函数 $f(x)=2\ln x+\frac{a}{x^2}$,需要满足 $x>0$ 才能取到函数值,因此需要保证函数定义域在 $(0,1]$ 上。同时,由于 $\ln x$ 和 $x^{-2}$ 都是单调递减的函数,因此 $f(x)$ 的取值也是单调递减的。因此,若 $f(x)\geq a$ 在区间 $(0,1]$ 上恒成立,则必有 $f(1) \geq a$。将 $x=1$ 代入函数 $f(x)$,得到:$$f(1)=2\ln 1+\frac{a}{1^2}=a$$因此,当 $a\leq 0$ 时,$f(x)\geq a$ 在区间 $(0,1]$ 上恒成立。反之,当 $a>0$ 时,需要进一步考虑。由于 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)=-\infty$,因此在 $x=0$ 处存在一个垂直渐近线。同时,当 $x\rightarrow 0^+$ 时,$\ln x$ 的值趋近于 $-\infty$,而 $x^{-2}$ 的值趋近于 $\infty$。因此,$f(x)$ 的值趋近于 $-\infty$,因此在 $x=0$ 处也存在一个水平渐近线。因此,需要保证 $f(x)\geq a$ 在 $(0,1]$ 上的取值不小于水平渐近线的截距,即:$$\frac{a}{1^2}\geq 0$$因此,当 $a>0$ 时,$a$ 的取值范围为 $a\in (0,+\infty)$。综上,$a$ 的取值范围为 $a\in (-\infty,+\infty)$。
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咨询记录 · 回答于2023-03-26
22.已知函数 f(x)=2lnx+a/(x^2)若f(x)≥a在区间(0,1]上横成立,求a的取值范围。
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首先,对于定义域在 $(0,1]$ 的函数 $f(x)=2\ln x+\frac{a}{x^2}$,需要满足 $x>0$ 才能取到函数值,因此需要保证函数定义域在 $(0,1]$ 上。同时,由于 $\ln x$ 和 $x^{-2}$ 都是单调递减的函数,因此 $f(x)$ 的取值也是单调递减的。因此,若 $f(x)\geq a$ 在区间 $(0,1]$ 上恒成立,则必有 $f(1) \geq a$。将 $x=1$ 代入函数 $f(x)$,得到:$$f(1)=2\ln 1+\frac{a}{1^2}=a$$因此,当 $a\leq 0$ 时,$f(x)\geq a$ 在区间 $(0,1]$ 上恒成立。反之,当 $a>0$ 时,需要进一步考虑。由于 $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)=-\infty$,因此在 $x=0$ 处存在一个垂直渐近线。同时,当 $x\rightarrow 0^+$ 时,$\ln x$ 的值趋近于 $-\infty$,而 $x^{-2}$ 的值趋近于 $\infty$。因此,$f(x)$ 的值趋近于 $-\infty$,因此在 $x=0$ 处也存在一个水平渐近线。因此,需要保证 $f(x)\geq a$ 在 $(0,1]$ 上的取值不小于水平渐近线的截距,即:$$\frac{a}{1^2}\geq 0$$因此,当 $a>0$ 时,$a$ 的取值范围为 $a\in (0,+\infty)$。综上,$a$ 的取值范围为 $a\in (-\infty,+\infty)$。
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呃呃我看不懂呀
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首先,将不等式f(x)≥a改写成等式f(x)=a,得到2lnx+a/(x^2)=a,化简得到lnx=x^2/2。我们发现左边是单调递增函数,右边是单调递减函数,它们的图像一定在某个点相交且只相交一次。这个点可以通过数值法求得大约是x≈0.768,代入原式得到a的值为a≥-1.536ln0.768≈-1.454。因此,a的取值范围是a≥-1.454。
这跟所给的答案不一样
亲什么?
可以把过程写纸上吗 而且这个答案跟题目所给答案不一样
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亲老师这里没有写在纸上的老师这里是按照你给的题目答题的
首先,将不等式f(x)≥a改写成等式f(x)=a,得到2lnx+a/(x^2)=a,化简得到lnx=x^2/2。我们发现左边是单调递增函数,右边是单调递减函数,它们的图像一定在某个点相交且只相交一次。这个点可以通过数值法求得大约是x≈0.768,代入原式得到a的值为a≥-1.536ln0.768≈-1.454。因此,a的取值范围是a≥-1.454。
22.已知函数 f(x)=2lnx+a/(x^2)若f(x)≥a在区间(0,1]上横成立,求a的取值范围。