Question

求方程-|||-(1)d^4/dx-1/xd^3y/(ax^3)=0-|||-(2) xy"=y`+x^2 的通解

Answer 1

问：求方程-|||-(1)d^4/dx-1/xd^3y/(ax^3)=0-|||-(2) xy"=y`+x^2 的通解

问：解下第二题就行了

答：你好鲜花，以下是解法

答：与第一个问题类似，我们可以通过定义一个新的函数u(x) = y"(x)来转换原始方程。通过对原始方程两次求导，我们得到： u'(x) = y'(x) u''(x) = y"(x) 将这些代入原方程得到： u' + xu'' = u 这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以采用常规的求解方法得到其通解。具体来说，我们可以先求出它的特征方程： r^2 - 1 = 0 得到两个特征根：r1 = 1，r2 = -1。所以，方程的通解是： y(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x) + c3 x + c4 其中c1到c4是任意常数。

问：我也不知道哪错了

答：亲亲，您套一下我给您发的公式呢

问：能帮我看看吗

答：亲亲 我这边手机被孩子摔坏了 看不太清图片

答：您这边转文字可以吗

问：我才开始学这个能再把数学过程写得更详细吗？然后你的这个我们还没学有点懵

答：xy"=y`+x^2 的通解是y(x)=c1*x+c2*x*ln(x)+1/4*x^2*(ln(x)-1/2)，其中c1和c2为任意常数哦

答：这是一个二阶线性常微分方程，可用常数变易法求解。首先将方程写成标准形式y"-(1/x)y'=x^2*y，然后令y(x)=v(x)*u(x)，其中v(x)为待定函数，u(x)为方程的一个特解，可令u(x)=1/4*x^2。代入原方程得v"(x)+v(x)/x=0，即v(x)=c1*x+c2/x。于是通解为y(x)=c1*x+c2*x*ln(x)+u(x)*v(x)。其中u(x)为任意常数，v(x)为通解中的特解。

问：那它首先对应的齐次方程是啥

答：xy"=y`+x^2 的通解可以通过两步解决。首先解齐次方程 y"=y`，得到通解 y=c1+c2x。然后采用常数变易法，假设通解为 y=uy1+vy2，其中 y1=c1，y2=c1lnx，y1和y2是齐次方程的两个线性无关解。将此通解代入非齐次方程，得到 u`y1+v`y2= x^2。依据常数变易法的原理，y1和y2的导数线性无关，所以可以解出 u`和v`，得到 u`=-x，v`=1，从而得到 u=-1/2x^2+C1，v=x+C2。将 u 和 v 带回通解式中，得到 xy = (-1/2x^2+C1)c1 + (x+C2)c1lnx，整理后得到通解 y=c1x+c2xlnx-x^2/4+C3哦。