Question

lim_(x→1+)(x-1)^2∑_(n=1)(lnn)/(n^n)求和符号上有无穷符号

Answer 1

问：lim_(x→1+)(x-1)^2∑_(n=1)(lnn)/(n^n)求和符号上有无穷符号

问：题目是这样的

答：在这个问题中，求和符号上有无穷符号，表示对无穷个项进行求和。我们来计算这个无穷级数。首先，我们观察求和式中的每一项。项的形式是ln(n)/(n^n)，其中 n 取自然数（1, 2, 3, ...）。我们可以尝试使用比较判别法来判断该级数的敛散性。

答：考虑到 ln(n)/(n^n) 中的 n 是幂指数，我们可以将其与一些已知的收敛级数进行比较。例如，我们可以与级数 1/n^n 进行比较。

答：当 n >= 3 时，我们有 ln(n)/(n^n) 1/n^n。这是因为对于 n >= 3，ln(n) < n，而 1/n^n 是指数函数，增长速度远快于 ln(n)，因此 ln(n)/(n^n) 会趋近于零。另外，当 n = 1, 2 时，ln(n)/(n^n) 也是有限的。

答：由比较判别法可知，级数 ∑(ln(n)/(n^n)) 在 n >= 3 时收敛。因此，我们可以对求和符号上的无穷级数进行计算。

答：接下来，我们考虑 (x-1)^2 这一因子。根据题目中的条件 x → 1+，我们可以得到 (x-1)^2 会趋近于零。

答：综合以上讨论，我们可以得到当 x → 1+ 时，整个表达式的极限为零。即：lim_(x→1+)(x-1)^2∑_(n=1)(lnn)/(n^n) = 0。

问：我好像打错字了分母是n^x

答：亲，我再修改一下

答：在这个问题中，求和符号上有无穷符号，表示对无穷个项进行求和。我们来计算这个无穷级数。首先，我们观察求和式中的每一项。项的形式是 ln(n)/(n^x)，其中 n 取自然数（1, 2, 3, ...）。我们可以尝试使用比较判别法来判断该级数的敛散性。考虑到 ln(n)/(n^x) 中的 n 是幂指数，我们可以将其与一些已知的收敛级数进行比较。例如，我们可以与级数 1/n^x 进行比较。

答：当 x > 1 时，我们有 ln(n)/(n^x) 1/n^x。这是因为对于 x > 1，ln(n) 是有限的，而 1/n^x 是指数函数，增长速度远快于 ln(n)，因此 ln(n)/(n^x) 会趋近于零。另外，当 x (n^x) 也是有限的。由比较判别法可知，级数 ∑(ln(n)/(n^x)) 在 x > 1 时收敛。因此，我们可以对求和符号上的无穷级数进行计算。

答：接下来，我们考虑 (x-1)^2 这一因子。根据题目中的条件 x → 1+，我们可以得到 (x-1)^2 会趋近于零。综合以上讨论，我们可以得到当 x → 1+ 时，整个表达式的极限为零。即：lim_(x→1+)(x-1)^2∑_(n=1)(lnn)/(n^x) = 0。