Question

2.设函数y1(x),y2(x)是微分方程 y`+p(x)y=0 的两个不同特解,则其通解为(-|||-

Answer 1

问：2.设函数y1(x),y2(x)是微分方程 y`+p(x)y=0 的两个不同特解,则其通解为(-|||-

答：根据微分方程 $y'' + p(x)y = 0$ 的通解公式 $y = Ce^{- \int p(x)dx}$，其中 $C$ 为任意常数， 可以得到 $y_1(x) = Ce^{- \int p(x)dx}$ 和 $y_2(x) = De^{- \int p(x)dx}$，其中 $C$ 和 $D$ 为任意常数。 要证明 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是微分方程的两个不同特解，则需要证明它们线性无关。 假设存在不全为零的常数 $a$ 和 $b$，使得 $a y_1(x) + b y_2(x) = 0$， 则有 $a C e^{- \int p(x)dx} + b D e^{- \int p(x)dx} = 0$。 移项并除以 $C e^{- \int p(x)dx}$，得到 $\frac{b}{a} = - \frac{D}{C}$。 由于 $C$ 和 $D$ 为任意常数，因此 $\frac{b}{a}$ 的值也是任意的。 但是，由于 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是不同的特解，它们的解析式不同，因此 $\frac{b}{a}$ 的值只能为唯一的一个常数，这与 $\frac{b}{a}$ 的任意性矛盾。 因此，假设不成立，即 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是微分方程的两个不同特解。 根据微分方程的通解公式，可以得到微分方程的通解为 $y(x) = C e^{- \int p(x)dx} + D e^{- \int p(x)dx}$，其中 $C$ 和 $D$ 为任意常数。

问：请问这道怎么写呢

答：亲，非常抱歉。图片下载太慢了，看得不是很清楚！ 根据微分方程 y′+p(x)y=0，我们可以得到其通解为 y=Ce^(-∫p(x)dx)，其中 C 为常数。 现在我们已知两个不同的特解 y1(x) 和 y2(x)，那么它们分别满足 y1′+p(x)y1=0 和 y2′+p(x)y2=0。 将第一个式子两边乘以 y2(x)，第二个式子两边乘以 y1(x)，然后将两个式子相减，得到 (y1(x)y2′(x)-y2(x)y1′(x))+p(x)y1(x)y2(x)=0。 由于 y1(x) 和 y2(x) 是不同的特解，因此 y1(x)y2′(x)-y2(x)y1′(x)≠0，所以我们可以将上式改写为 (y1(x)y2′(x)-y2(x)y1′(x))/y1(x)y2(x)=-p(x)。 将左边的式子进行积分，得到 ln|y1(x)/y2(x)|=∫p(x)dx+C1，其中 C1 为常数。 将等式两边取指数，得到 |y1(x)/y2(x)|=e^(∫p(x)dx+C1)=C2，其中 C2 为常数。 由于 C2 为正常数，所以我们可以将其写为 y1(x)/y2(x)=C3 或 y2(x)/y1(x)=1/C3，其中 C3 为正常数。