n^√(1+x)-1的等价无穷小n可以为x吗?
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当$n \to \infty$时，$n^{\sqrt{1+x}-1}$是一个等价无穷小量。我们可以使用极限定义来证明这一点。令$f(n) = n^{\sqrt{1+x}-1}$，则需要证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{x}=k$，其中 $k$ 是一个非零常数。$$\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{x}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{\sqrt{1+x}-1}\cdot \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$$当 $n\to\infty$ 时，$\frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{\sqrt{1+x}-1}$ 的极限是一个非零常数，而 $\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ 的极限为 $\frac{1}{2}$。因此，我们有$$\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{x} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{\sqrt{
咨询记录 · 回答于2023-03-12
n^√(1+x)-1的等价无穷小n可以为x吗?
当$n \to \infty$时，$n^{\sqrt{1+x}-1}$是一个等价无穷小量。我们可以使用极限定义来证明这一点。令$f(n) = n^{\sqrt{1+x}-1}$，则需要证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{f(n)}{x}=k$，其中 $k$ 是一个非零常数。$$\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{x}=\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{\sqrt{1+x}-1}\cdot \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$$当 $n\to\infty$ 时，$\frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{\sqrt{1+x}-1}$ 的极限是一个非零常数，而 $\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ 的极限为 $\frac{1}{2}$。因此，我们有$$\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{x} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{\sqrt{1+x}-1}}{\sqrt{
N是不能为x的
为x是俩个重要极限吗？
其中 $k$ 是一个非零常数。因此，$n^{\sqrt{1+x}-1}$ 的等价无穷小量可以表示为 $\frac{x}{2}$，而不能表示为 $x$。
是的宝子
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