Question

已知一个与球心距离为4的平面,截球所得圆面积为兀,求这个球的表面积

Answer 1

问：已知一个与球心距离为4的平面,截球所得圆面积为兀,求这个球的表面积

答：设球的半径为r，球心到平面的距离为h=4。以球心为原点建立坐标系，球面方程为x^2+y^2+z^2=r^2，平面方程为z=4。球面与平面的截线为圆，圆的方程为x^2+y^2=r^2-16。根据圆的面积公式S=π r^2，得到圆面积为S=π(r^2-16)。根据圆的半径$R=\sqrt{r^2-16}$，可以写出球冠的面积公式：S{球冠}=2\π Rh=2\π\sqrt{r^2-16}\ 4=8\π\sqrt{r^2-16}根据球面积公式S=4\π r^2，可以将球面积分解为两个球冠的和：S=2S{球冠}+S{圆}=2\ 8\π\sqrt{r^2-16}+\π(r^2-16)=16\π\sqrt{r^2-16}+\πr^2-16\π由于已知圆面积S=π(r^2-16)，代入上式解得：S=16\π\sqrt{\frac{S}{\pi}+16}+S-16\π化简得到：$$S=16\π\sqrt{\frac{S}{\pi}+16}两边平方得到：S^2=256\pi^2\cdot\left(\frac{S}{\pi}+16\right)=256\pi S+4096\pi^2

答：移项可得到二次方程：S^2-256\pi S-4096\pi^2=0由于表面积必为正数，故S=764.2。因此，这个球的表面积约为764.2平方单位。